Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau. Gọi H là hình chiếu của điểm O trên mặt phẳng (ABC). Chứng minh rằng:

a) BC ^ (OAH).

b) H là trực tâm của ∆ABC.

c) $\frac{1}{O{H}^2}=\frac{1}{O{A}^2}+\frac{1}{O{B}^2}+\frac{1}{O{C}^2}$

a) Ta có: $\left\{\begin{array}{l}OA\perp OB\\ OA\perp OC\end{array}\right.$

$\Rightarrow OA\perp \left(OBC\right)\Rightarrow OA\perp BC.\left(1\right)$

$OH\perp BC\left(OH\perp \left(ABC\right)\right).\left(2\right)$

Từ (1) và (2) Þ BC ^ (OAH).

b) Từ a) Þ BC ^ AH.    (*)

Ta dễ dàng chứng minh được OC ^ (OAB) Þ OC ^ AB.       (3)

Lại có: OH ^ AB    (do OH ^ (ABC)) Þ OH ^ AB.         (4)

Từ (3) và (4) Þ AB ^ (OHC) hay AB ^ HC. (**)

Từ (*) và (**) Þ H là trực tâm của tam giác ABC.

c) Dễ thấy OD, OH là các đường cao của tam giác OBC và OAD.

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông, ta có:

$\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{O{D}^2}=\frac{1}{O{B}^2}+\frac{1}{O{C}^2}\\ \frac{1}{O{H}^2}=\frac{1}{O{A}^2}+\frac{1}{O{D}^2}\end{array}\right.$

Do đó $\frac{1}{O{H}^2}=\frac{1}{O{A}^2}+\frac{1}{O{B}^2}+\frac{1}{O{C}^2}.$