Cho tổng A_n = 1 + 4 + 7+ .... + (3n – 2).

a, Tính A₁, A₂, A₃.

b, Dự đoán công thức A_n và chứng minh bằng quy nạp.

a) A₁ = 1

A₂ = 1 + 4 = 5

A₃ = 1 + 4 + 7 = 12

b) Dự đoán công thức A_n = $\frac{n\left(3n-1\right)}{2}$  (1)

Chứng minh bằng phương pháp quy nạp

Với n = 1 ta có: A₁ = $\frac{1.2}{2}=1$ (đúng)

Giả sử (1) đúng với n = k ≥ 1 tức là

1 + 4 + 7 + … + (3k – 2) = $\frac{k\left(3k-1\right)}{2}$

Ta cần chứng minh (1) đúng với n = k, tức là cần chứng minh

1 + 4 + 7 + … + (3k – 2) + (3k + 1) =  $\frac{\left(k+1\right)\left(3k+2\right)}{2}$(2)

Theo giả thiết quy nạp ta có:

A_k+1 = A_k + (3k + 1) =  $\frac{k\left(3k-1\right)}{2}$+ (3k + 1)

= $\frac{3k^2-k+6k+2}{2}=\frac{3k^2+5k+2}{2}=\frac{\left(k+1\right)\left(3k+2\right)}{2}$ .

Vậy (1) đúng với mọi n ∈ ℕ^*.