Cho tập hợp A = {x ∈ ℝ| x – a| ≤ 2} và B = (– 2; 5]. Biết rằng tập hợp tất cả các giá trị a để A giao B khác rỗng là nửa khoảng (m, n]. Tính S = n + 2m.

Ta có:

|x − a| ≤ 2

⇔ −2 ≤ x − a ≤ 2

⇔ −a – 2 ≤ x ≤ a + 2

Ta được:

A = [a − 2; a + 2]

Xét A ∩ B = ∅

⇔ $\left[\begin{array}{l}a+2\le -2\\ a-2>5\end{array}\right.$

⇔ $\left[\begin{array}{l}a\le -4\\ a>7\end{array}\right.$

Do đó:

A ∩ B ≠ ∅ ⇔ −4 < a ≤ 7

Hay a ∈ (−4; 7]

⇒ m = – 4; n = 7

⇒ S = n + 2m = −1.