Cho tập hợp A = {x ∈ ℝ| x – a| ≤ 2} và B = (– 2; 5]. Biết rằng tập hợp tất cả các giá trị a để A giao B khác rỗng là nửa khoảng (m; n]. Tính S = n + 2m.

Ta có:

|x−a| ≤ 2

⇔ −2 ≤ x − a ≤ 2

⇔ −a – 2 ≤ x ≤ a + 2

Ta được:

A = [a − 2; a + 2]

Xét A ∩ B = ∅

⇔ \(\left[ \begin{array}{l}a + 2 \le - 2\\a - 2 > 5\end{array} \right.\)

⇔ \(\left[ \begin{array}{l}a \le - 4\\a > 7\end{array} \right.\)

Do đó:

A ∩ B ≠ ∅ ⇔ −4 < a ≤ 7

Hay a ∈ (−4; 7]

⇒ m = – 4; n = 7

⇒ S = n + 2m = −1.