Cho tập hợp A có 20 phần tử. Có bao nhiêu tập con của A khác rỗng và số phần tử là số chẵn?

Số tập hợp con của A khác rỗng có số phần tử là số chẵn là: 

\(M = C_{20}^2 + C_{20}^4 + C_{20}^6 + ... + C_{20}^{20}\)

Để tính M ta xét: (x + 1)²⁰ = \(C_{20}^0 + x.C_{20}^1 + {x^2}C_{20}^2 + ... + {x^{20}}C_{20}^{20}\)

Thay x = 1 ta có: (1 + 1)²⁰ = 2²⁰ = \(C_{20}^0 + C_{20}^1 + C_{20}^2 + ... + C_{20}^{20}\) (1)

Thay x = – 1 ta có: (1 + – 1)²⁰ = 0 = \(C_{20}^0 - C_{20}^1 + C_{20}^2 + ... - C_{20}^{19} + C_{20}^{20}\) (2)

Từ (1) và (2) ta có:

\(2\left( {C_{20}^0 + C_{20}^1 + C_{20}^2 + ... + C_{20}^{20}} \right) = {2^{20}}\)

⇔ 2(1 + M) = 2¹⁰

⇔ M = 2¹⁹ – 1.