Cho tam giác đều ABC có trọng tâm G và độ dài cạnh a. Tính tích vô hướng $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AG}$ .

AD vừa là đường cao, vừa là trung tuyến của ∆ABC

Áp dụng định lý Pitago trong ∆ABD ta có:

AD = $\sqrt{A{B}^2-B{D}^2}=\sqrt{a^2-{\left(\frac{a}{2}\right)}^2}=\frac{a\sqrt{3}}{2}$

AG = $\frac{2}{3}$ AD = $\frac{2}{3}.\frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{a\sqrt{3}}{3}$

$\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AG}$= AB . AG . cos$\widehat{BAG}$  = a. $\frac{a\sqrt{3}}{3}$. cos 30° = $\frac{a^2}{2}$ .