a) Vì ABDE, ACFG là các hình vuông nên ta có E, A, C thẳng hàng và B, A, G cũng thẳng hàng (1) và EC = BG.

Mà \(\widehat {EBA} = \widehat {AGC} = 45^\circ \)(2).

Từ (1) và (2):

Suy ra EB // CG và EC = BG nên EBCG là hình thang cân.

b) Ta có: \(\widehat {AEK} = \widehat {GAE} = \widehat {AGK} = 90^\circ \)

Suy ra: AEKG là hình chữ nhật, hai đường chéo EG và AK giao nhau tại trung điểm mỗi đường.

Mà M là trung điểm EG

Nên M là trung điểm AK

Suy ra: M, A, K thẳng hàng.

c) Gọi H = MA ∩ BC

Vì BEGC là hình thang cân nên ∆BEG = ∆EBC (c–g–c) 

⇒ \(\widehat {ECB} = \widehat {EGB}\) mà \(\widehat {EGA} = \widehat {MAG} = \widehat {BAH}\)

⇒ \(\widehat {BAH} + \widehat {ABC} = \widehat {ECB} + \widehat {ABC} = 90^\circ \)

Suy ra: MA vuông góc với BC tại H.

d) Xét ∆ABK và ∆BDC có:

AB = DB

\(\widehat {BAK} = \widehat {DBC}\)

KA = EG = BC

Suy ra: ∆ABK = ∆BDC (c.g.c)

Suy ra: \(\widehat {BKA} = \widehat {BCD}\)

Mà KA ⊥ BC nên CD ⊥ BK

Chứng minh tương tự ta cũng có BF ⊥ KC.

Suy ra:  Tam giác KBC có BF, CD, AM là 3 đường cao đồng quy tại trực tâm I.