Ta có BM = AB – AM = 9 – 3 = 6 (cm)

Xét ∆ABC có MN // BC nên theo định lí Thalès, ta có $\frac{{AM}}{{BM}} = \frac{{AN}}{{NC}}$.

Suy ra NC = $\frac{{AN.BM}}{{AM}}$= $\frac{{4.6}}{3}$= 8 (cm)

Xét ∆AMN vuông tại A, áp dụng định lý Pythagore, ta có:

MN² = AM² + AN² = 3² + 4² = 25.

Do đó MN = 5 cm.

Xét ∆ABC có MN // BC, theo hệ quả của định lí Thalès, ta có $\frac{{MN}}{{BC}} = \frac{{AM}}{{AB}}$.

Suy ra BC = $\frac{{MN.AB}}{{AM}}$= $\frac{{5.9}}{3}$= 15 (cm).

Vậy NC = 8 cm, MN = 5 cm, BC = 15 cm.