Cho tam giác ABC vuông tại A. Gọi M là trung điểm của AC , trên tia đối của tia MB lấy điểm D sao cho MD =MB.
1) Chứng minh AD = BC.
2) Chứng minh CD vuông góc với AC.
3) Đường thẳng qua B song song với AC cắt tia DC tại N. Chứng minh tam giác ABM = tam giác CNM.
1) Xét ΔCBM và ΔADM có:
AM = MC (giả thtết)
\(\widehat {CMB} = \widehat {AMD}\)(đối đỉnh)
BM = MD (giả thiết)
⇒ ΔCBM = ΔADM (c.g.c)
Suy ra: BC = DA (hai cạnh tương ứng)
2) Xét ΔABM và ΔCDM có:
AM = CM(giả thiết)
\(\widehat {AMB} = \widehat {CMD}\) (đối đỉnh)
BM = DM (giả thiết)
⇒ ΔABM = ΔCDM (c.g.c)
\(\widehat {BAM} = \widehat {DCM} = 90^\circ \) (hai góc tương ứng) (đpcm)
⇒ DC ⊥ AC (đpcm)
3) Ta có BN // AC mà AC⊥DC⇒ BN ⊥ DC ⇒ \(\widehat {BND} = 90^\circ \)
AB // CD (do cùng ⊥AC)
Xét ΔABC và ΔNBC có:
\(\widehat {ABC} = \widehat {NCB}\) (hai góc ở vị trí so le trong)
BC chung
\(\widehat {ACB} = \widehat {NBC}\) (do BN//AC nên đó là hai góc ở vị trí so le trong)
⇒ ΔABC = ΔNBC (g.c.g)
⇒ AB = NC (hai cạnh tương ứng)
Xét ΔABM và ΔCNM có:
AB = CN (cmt)
\(\widehat {BAM} = \widehat {NCM} = 90^\circ \)
AM = CM (giả thiết)
⇒ ΔABM = ΔCNM (đpcm)