Cho tam giác ABC vuông tại A, gọi I là giao điểm các đường phân giác các góc trong của tam giác ABC, M là trung điểm BC.

a) Biết AB = 6 cm, AC = 8 cm. Tính $\widehat{BIM}$ .

a) Ta có:

BC = $\sqrt{A{B}^2+A{C}^2}=10$

$\frac{PA}{PC}=\frac{BA}{BC}\Rightarrow \frac{PA}{CA}=\frac{BA}{BC+BA}\Rightarrow PA=\frac{BA.CA}{BC+BA}=\frac{6.8}{6+10}=3$

BP =  $\sqrt{A{B}^2+A{P}^2}=3\sqrt{5}$

$\frac{BI}{PI}=\frac{AB}{AP}\Rightarrow \frac{BI}{BP}=\frac{AB}{AB+AP}\Rightarrow BI=\frac{BA.BP}{AB+AP}=\frac{6.3\sqrt{5}}{6+3}=2\sqrt{5}$

Ta thấy: $\frac{BI}{BM}=\frac{2\sqrt{5}}{5}=\frac{BA}{BP}$

Xét tam giác BAP và tam giác BIM có:

$\widehat{ABP}=\widehat{IBM}$

$\frac{BI}{BM}=\frac{BA}{BP}$

⇒∆BAP ᔕ ∆BIM (c.g.c)

Suy ra: $\widehat{BIM}$ =$\widehat{BAP}$ = 90°