a) Xét tứ giác ADHE có 3 góc vuông (\(\widehat A,\widehat D,\widehat E\))

⇒ ADHE là hình chữ nhật mà AH, DE là 2 đường chéo

⇒ AH = DE (đpcm)

b) HD ⊥ AB và AC ⊥ AB ⇒ HD // AC 

⇒ \(\widehat {PHD} = \widehat {HCA}\)(đồng vị) 

ΔDBH vuông tại D có DP là trung tuyến ứng với cạnh huyền

⇒ DP = PH ⇒ ΔDPH cân tại P

⇒ \(\widehat {PHD} = \widehat {PDH}\)

ADHE là hình chữ nhật ⇒ \(\widehat {ADE} = \widehat {AHE}\)

mà \(\widehat {HCA} = \widehat {AHE}\) (cùng phụ với \(\widehat {HAE}\))

⇒ \(\widehat {ADE} = \widehat {HCA} = \widehat {PHD} = \widehat {PDH}\)

Ta có: \(\widehat {ADE} + \widehat {EDH} = 90^\circ \)

⇒ \(\widehat {PDH} + \widehat {EDH} = 90^\circ \)

⇒ \(\widehat {PDE} = 90^\circ \) ⇒ DP ⊥ DE

Chứng minh tương tự ta có EQ ⊥ DE

⇒ Tứ giác DEQP là hình thang vuông tại D và E (đpcm)

c) Xét ΔHAC có O là trung điểm của HA, Q là trung điểm của HC

⇒ OQ là đường trung bình ⇒ OQ // AC ⇒ OQ ⊥ AB

Xét ΔABQ có QO, AH là 2 đường cao cắt nhau tại O

⇒ O là trực tâm ΔABQ (đpcm)

d) S_ABC = \(\frac{1}{2}.AH.BC = PQ.AH\left( 1 \right)\)

S_DEQP = \(\frac{1}{2}\left( {DP + EQ} \right).DE = \frac{1}{2}.\left( {DP + EQ} \right).AH = \frac{1}{2}.\left( {HP + HQ} \right).AH = \frac{1}{2}.PQ.AH\) (2)

Từ (1) và (2) suy ra: S_ABC = 2S_DEQP (đpcm).