Cho tam giác ABC vuông góc tại A có AB = 3, AC = 4. Trên đoạn thẳng BC lấy điểm M sao cho MB = 2MC. Tính tích vô hướng $\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{BC}$

Áp dụng định lý Pytago vào tam giác BAC ta có:

BC² = AB² + AC² = 3² + 4² = 25

⇒ BC = 5

Vì MB = 2MC

⇒ MB + MC = BC

2MC + MC = BC

3MC = BC

⇒ MC = $\frac{5}{3};MB=2MC=\frac{10}{3}$

Ta có:

$\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{BC}=\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BM}\right).\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{BM}.\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{BC}=\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BM}\right).\overrightarrow{BC}$

$=-\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{BC}+BM.BC.\cos 0°$

$=-BA.BC.\cos \widehat{ABC}+\frac{10}{3}\mathrm{.5.1}$

$=-BA.BC.\frac{BA}{BC}+\frac{50}{3}$

$=-B{A}^2+\frac{50}{3}$

$=-3^2+\frac{50}{3}=\frac{23}{3}$.