Lời giải
a) Do tam giác ABC vuông cân nên \(\widehat {ABC} = \widehat {ACB} \Rightarrow \widehat {ABE} = \widehat {ACB}\)
Xét tam giác vuông ABE và tam giác vuông ACD có:
AB = AC (gt)
\(\widehat {ABE} = \widehat {ACB}\)
Þ DABE = DACD (Cạnh góc vuông - góc nhọn kề)
Þ BE = CD; AE = AD
b) I là giao điểm của hai tia phân giác góc B và góc C của tam giác ABC nên AI cũng là phân giác góc A.
Do tam giác ABC cân tại A nên AI là phân giác đồng thời là đường cao và trung tuyến.
Vậy thì \(\widehat {AMC} = 90^\circ ;\;BM = MC = AM\)
Từ đó suy ra tam giác AMC vuông cân tại M.
c) Gọi giao điểm của DH, AK với BE lần lượt là J và G.
Do DH và AK cùng vuông góc với BE nên ta có
DBDJ = DBHJ; DBAG = DBKG Þ BD = BH; BA = BK
Þ HK = AD
Mà AD = AE nên HK = AE (1)
Do tam giác BAK cân tại B, có \(\widehat B = 45^\circ \Rightarrow \widehat {BAK} = \frac{{180^\circ - 45^\circ }}{2} = 67,5^\circ \)
\( \Rightarrow \widehat {GAE} = 90^\circ - 67,5^\circ = 22,5^\circ = \frac{{\widehat {IAE}}}{2}\)
Suy ra AG là phân giác góc IAE.
Từ đó ta có \(\widehat {KAC} = \widehat {ICA} = 22,5^\circ \)
Þ DAKC = DCIA (g - c - g) Þ KC = IA
Lại có tam giác AIE có AG là phân giác đồng thời đường cao nên nó là tam giác cân, hay AI = AE. Suy ra KC = AE (2)
Từ (1) và (2) suy ra HK = KC.
