\(\left| {4\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} } \right| = \left| {2\overrightarrow {MA} - \overrightarrow {MB} - \overrightarrow {MC} } \right|\)

⇔ \(\left| {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} + 3\overrightarrow {MA} } \right| = \left| {2\overrightarrow {MA} - 2\overrightarrow {MI} } \right|\) (gọi I là trung điểm BC nên \(\overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} = 2\overrightarrow {MI} \))

⇔ \(\left| {3\left( {\overrightarrow {MG} + \overrightarrow {MA} } \right)} \right| = 2\left| {\overrightarrow {MA} - \overrightarrow {MI} } \right|\) (G là trọng tâm)

⇔ \(6\left| {\overrightarrow {MJ} } \right| = 2\left| {\overrightarrow {IA} } \right|\)

⇔ MJ = \(\frac{1}{3}IA\) (J là trung điểm của AG)

⇔ JM = \(\frac{1}{2}AG\)(không đổi)

Vậy tập hợp điểm M là đường tròn tâm J, bán kính R = \(\frac{1}{2}AG\).