Cho tam giác ABC, M và N là hai điểm thỏa mãn \(\overrightarrow {BM} = \overrightarrow {BC} - 2\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {CN} = x\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {BC} \). Xác định x để A, M, N thẳng hàng.

Ta có: \(\overrightarrow {BM} = \overrightarrow {BC} - 2\overrightarrow {AB} \)

⇔ \(\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {AM} = \overrightarrow {BA} + \overrightarrow {AC} - 2\overrightarrow {AB} \)

⇔ \(\overrightarrow {AM} = \overrightarrow {AC} - 2\overrightarrow {AB} \)

Và \(\overrightarrow {CN} = x\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {BC} \)

⇔ \[\overrightarrow {CA} + \overrightarrow {CN} = x\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {BA} - \overrightarrow {AC} \]

⇔ \[\overrightarrow {AN} = x\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AB} \]

Vì A, M, N thẳng hàng nên:

\(\overrightarrow {AM} = k\overrightarrow {AN} \)

⇔ \(\frac{1}{x} = \frac{{ - 2}}{1}\)

⇔ \(x = \frac{{ - 1}}{2}\)

Vậy \(x = \frac{{ - 1}}{2}\) thì A, M, N thẳng hàng.