Cho tam giác ABC. Khẳng định nào sau đây là đúng?

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C.

Theo định lí sin trong tam giác ABC ta có: \(\frac{a}{{\sin A}} = \frac{b}{{\sin B}} = \frac{c}{{\sin C}}\)

Suy ra \(\sin A = \frac{{a.\sin C}}{c}\); \(\sin B = \frac{{b.\sin C}}{c}\).

Lại có: \(\cos A = \frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2bc}}\); \(\cos B = \frac{{{a^2} + {c^2} - {b^2}}}{{2ac}}\).

Do đó: \[\tan A = \frac{{\sin A}}{{\cos A}} = \frac{{\frac{{a.\sin C}}{c}}}{{\frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2bc}}}} = \frac{{2ab\sin C}}{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}\]

\[\tan B = \frac{{\sin B}}{{\cos B}} = \frac{{\frac{{b.\sin C}}{c}}}{{\frac{{{a^2} + {c^2} - {b^2}}}{{2ac}}}} = \frac{{2ab\sin C}}{{{a^2} + {c^2} - {b^2}}}\].

Vậy \[\frac{{\tan A}}{{\tan B}} = \frac{{{c^2} + {a^2} - {b^2}}}{{{c^2} + {b^2} - {a^2}}}\].