Cho tam giác ABC. I nằm trên BC cho 2CI = 3BI. J nằm trên đường thẳng BC cho 5JB = 2JC. G là trọng tâm tam giác ABC.

a) Biểu diễn $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}$  theo 2 vectơ $\overrightarrow{AI},\overrightarrow{AJ}$  và biểu diễn  $\overrightarrow{AJ}$ qua $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}$ .

b)Tính $\overrightarrow{AG}$  theo $\overrightarrow{AI},\overrightarrow{AJ}$ .

a) I là điểm trên cạnh BC mà: 2CI = 3BI. Suy ra: $\frac{BI}{CI}=\frac{2}{3}$

⇒ $\frac{BI}{CI+BI}=\frac{2}{3+2}=\frac{2}{5}$  ⇒ $\frac{BI}{BC}=\frac{2}{5}$

⇒ $BI=\frac{2}{5}BC$  tương tự $CI=\frac{3}{5}BC$

J là điểm nằm trên BC kéo dài: 5JB = 2JC ⇒ $\frac{JB}{JC}=\frac{2}{5}$

⇒ $\frac{JB}{JC-JB}=\frac{2}{5-2}=\frac{2}{3}$ ⇒ $\frac{JB}{BC}=\frac{2}{3}$

⇒ $JB=\frac{2}{3}BC$ và $BC=\frac{3}{3}JC$

$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AI}+\overrightarrow{IB}=\overrightarrow{AI}-\frac{2}{5}\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AI}-\frac{2}{5}.\frac{3}{2}\overrightarrow{JB}=\overrightarrow{AI}-\frac{3}{5}\overrightarrow{JB}=\overrightarrow{AI}-\frac{3}{5}\left(\overrightarrow{JA}+\overrightarrow{AB}\right)=\overrightarrow{AI}+\frac{3}{5}\overrightarrow{AJ}-\frac{3}{5}\overrightarrow{AB}$

⇒ $\overrightarrow{AB}+\frac{3}{5}\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AI}+\frac{3}{5}\overrightarrow{AJ}$

⇒ $\overrightarrow{AB}=\frac{5}{8}\overrightarrow{AI}+\frac{3}{8}\overrightarrow{AJ}$

$\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AI}+\overrightarrow{IC}=\overrightarrow{AI}+\frac{3}{5}\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AI}+\frac{3}{5}.\frac{3}{5}.\overrightarrow{JC}=\overrightarrow{AI}+\frac{9}{25}\left(\overrightarrow{JA}+\overrightarrow{AC}\right)$

⇒ $\overrightarrow{AC}-\frac{9}{25}\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AI}+\frac{9}{25}\overrightarrow{JA}$

⇒ $\overrightarrow{AC}=\frac{25}{16}\overrightarrow{AI}-\frac{9}{16}\overrightarrow{AJ}$

b) Lấy K là đối xứng của A qua H

Ta có: AK và BC cắt nhau tại trung điểm mỗi đường là H. Do đó ABKC là hình bình hành

Vì G là trọng tâm nên: $\overrightarrow{AG}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AH}=\frac{2}{3}.\frac{1}{2}.\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right)$   (sử dụng quy tắc hình bình hành vào hình bình hành ABKC, H là trung điểm của BC)

$\overrightarrow{AG}=\frac{1}{3}.\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right)=\frac{1}{3}.\left(\frac{5}{8}.\overrightarrow{AI}+\frac{3}{8}\overrightarrow{AJ}+\frac{25}{16}\overrightarrow{AI}-\frac{9}{16}\overrightarrow{AJ}\right)=\frac{35}{48}\overrightarrow{AI}-\frac{1}{16}\overrightarrow{AJ}$