D đối xứng với A qua BC

⇒ BC là đường trung trực của AD

⇒ BA = BD; CA = CD

mà BA = CA(ΔABC đều) ⇒ BA = BD = CA = CD

⇒ ABDC là hình thoi

⇒ \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} = \overrightarrow {AD} \)

Xét \(\overrightarrow {MB} .\overrightarrow {MC} = \left( {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {AB} } \right)\left( {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {AC} } \right)\)

\( = M{A^2} + \overrightarrow {MA} .\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {MA} .\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} \)

\( = M{A^2} + \overrightarrow {MA} \left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right) + \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} \)

\( = M{A^2} + \overrightarrow {MA} .\overrightarrow {AD} + AB.AC.\cos \widehat {BAC}\)

\( = M{A^2} + \overrightarrow {MA} .\overrightarrow {AD} + a.a.\cos 60^\circ \)

\( = A{M^2} - \overrightarrow {AM} .\overrightarrow {AD} + \frac{{{a^2}}}{2}\)