Do M, N là trung điểm của BC,AC

Nên S_CMN = \(\frac{1}{4}\)S_ABC

Suy ra: S_ABC = 4S_CMN = \(60\sqrt 3 \)

S_ABG = \(\frac{2}{3}{S_{ABM}} = \frac{2}{3}.\frac{1}{2}.{S_{ABC}} = \frac{1}{3}.60\sqrt 3 = 20\sqrt 3 \)

Lại có: S_ABG = \(\frac{1}{2}.AG.GB.\sin \widehat {AGB} = \frac{1}{2}.\frac{2}{3}.AM.\frac{2}{3}.BN.\sin \widehat {AGB} = 40.\sin \widehat {AGB}\)

Suy ra: \(40.\sin \widehat {AGB} = 20\sqrt 3 \)

⇒ \(\widehat {AGB} = 60^\circ \)

Ta có: AB² = AG² + GB² – 2.AG.GB.cos\(\widehat {AGB}\) = 84

Suy ra: AB = \(2\sqrt {21} \)

M,N là trung điểm của BC,AC

⇒ MN là đường trung bình của ΔACB

⇒ \(MN = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2}.2\sqrt {21} = \sqrt {21} \)

Vậy \(MN = \sqrt {21} \).