Cho tam giác ABC có \(\widehat B = 60^\circ ,\widehat C = 45^\circ ,BC = a\).

a) Tính AB, AC.

b) Chứng minh \(\cos 75^\circ = \frac{{\sqrt 6 - \sqrt 2 }}{4}\).

a) Ta có: \(\widehat A = 180^\circ - 60^\circ - 45^\circ = 75^\circ \)

Theo định lý sin, ta có:

\(\frac{a}{{\sin A}} = \frac{b}{{\sin B}} = \frac{c}{{\sin C}}\)

⇒ \[b = \frac{{a.\sin B}}{{\sin A}} = \frac{{a.\sin 60^\circ }}{{\sin 75^\circ }} = \frac{{a\sqrt 3 }}{{2\sin 75^\circ }}\]

Tương tự ta được \[c = \frac{{a\sqrt 2 }}{{2\sin 75^\circ }}\]

b) Kẻ AH vuông góc BC khi đó BH + HC = BC

\(HC + \frac{{b\sqrt 2 }}{2} + \frac{c}{2} = \frac{{a\sqrt 6 + a\sqrt 2 }}{{4\sin 75^\circ }}\)

\(a = \frac{{b\sqrt 2 }}{2} + \frac{c}{2} = \frac{{a\sqrt 6 + a\sqrt 2 }}{{4\sin 75^\circ }}\)

\(\sin 75^\circ = \frac{{\sqrt 6 + \sqrt 2 }}{4}\)

Mà sin²75° + cos²75° = 1

Suy ra: \(\cos 75^\circ = \frac{{\sqrt 6 - \sqrt 2 }}{4}\).