Cho tam giác ABC có các trung tuyến BD và CE . Trên cạnh BC lấy các điểm M N, sao cho BM = MN = NC. Gọi I là giao điểm của AM và BD , K là giao điểm của AN và CE . Chứng minh rằng:

a) BCDE là hình thang.

b) K là trung điểm của EC.

c) BC = 4IK

a) Vì BD và CF là trung tuyến nên ED là đường trung bình của tam giác ABC (E, D lần lượt là trung điểm AB, AC)

Suy ra: ED // BC ⇒ EDCB là hình thang

b) Trong tam giác ABN có E, M là trung điểm của AB và BN (do BM = MN = NC)

⇒ EM là đường trung bình của ∆ABN

⇒ EM // AN ⇒ EM // KN

Trong ∆EMC có N là trung điểm của CM vì MN = NC và NK // EM

⇒ K là trung điểm của CE

c) Tương tự: Trong ∆BDN có M là trung điểm BN và MI // DN

Suy ra: MI là đường trung bình của tam giác BDN

⇒ I là trung điểm BD.

Trong hình thang BEDC có IK là đoạn nối trung điểm của hai đường chéo nên:

$IK=\frac{BC-DE}{2}=\frac{2DE-DE}{2}=\frac{DE}{2}$

⇒ 2IK = DE ⇒ 4IK = 2DE = BC

Vậy 4IK = BC.