Cho tam giác ABC có AB = 4, AC = 6 và \(\widehat {BAC} = 60^\circ \). Gọi M là trung điển của BC, điểm N thỏa mãn \(\overrightarrow {AN} = \frac{7}{{12}}\overrightarrow {AC} \). Chứng minh AM vuông góc BN.

\(\overrightarrow {AM} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right) = \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow {AC} \)

\(\overrightarrow {BN} = \overrightarrow {AN} - \overrightarrow {AB} = \frac{7}{{12}}\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB} \)

\(\overrightarrow {AM} .\overrightarrow {BN} = \left( {\frac{1}{2}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow {AC} } \right)\left( {\frac{7}{{12}}\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB} } \right)\)

\( = \frac{7}{{24}}\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} + \frac{7}{{24}}A{C^2} - \frac{1}{2}A{B^2} - \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} \)

\( = \frac{{ - 5}}{{24}}\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} + \frac{7}{{24}}A{C^2} - \frac{1}{2}A{B^2}\)

\( = \frac{{ - 5}}{{24}}AB.AC.\cos \widehat A + \frac{7}{{24}}A{C^2} - \frac{1}{2}A{B^2}\)

\( = \frac{{ - 5}}{{24}}.4.6.\cos 60^\circ + \frac{7}{{24}}{.6^2} - \frac{1}{2}{.4^2}\)

= 0

Vậy AM vuông góc BN.