Vẽ AH ⊥ BC (H ∈ BC) ; AF ⊥ AC (F ∈ AC) (xem hình)

Từ các dữ kiện đề bài AB = BE = 1, \(\widehat {ABE} = 60^\circ \)⇒ ΔABE đều 

AH ⊥ BE ⇒ AH  là đường cao cũng là đường trung tuyến nên

BH = BE : 2 = 0,5

Áp dụng định lý Pi–ta–go vào ΔAHB ⊥ H:

AH² = AB² – BH² = AB² – \({\left( {\frac{{BE}}{2}} \right)^2} = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}\left( 1 \right)\)

\(\widehat {ACB} = 180^\circ - \widehat {BAC} - \widehat {ABC} = 180^\circ - 105^\circ - 60^\circ = 15^\circ \)

\(\widehat {BAF} = \widehat {BAC} - \widehat {FAC} = 105^\circ - 90^\circ = 15^\circ \)

Suy ra: \(\widehat {ACB} = \widehat {BAF}\)

Xét tam giác ABC và tam giác FBA có:

\(\widehat {ACB} = \widehat {BAF}\)

Chung \(\widehat B\)

⇒ ∆ABC ∽ ∆FBA (g.g)

⇒ \(\frac{{AF}}{{AC}} = \frac{{AB}}{{BC}} = \frac{{BE}}{{BC}} = \frac{{AD}}{{AC}}\)(do ED // AB)

Nên AF = AD (2)

Tam giác AFC vuông tại A, đường cao AH nên có hệ thức lượng:

\(\frac{1}{{A{C^2}}} + \frac{1}{{A{F^2}}} = \frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{4}{3}\)

Mà AF = AD nên \(\frac{1}{{A{C^2}}} + \frac{1}{{A{D^2}}} = \frac{4}{3}\).