Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng: a) cotA + cotB + cotC = (a^2 + b^2 + c^2)/ 4S

Bài 3.13 trang 39 SBT Toán 10 Tập 1: Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng:

a) $\cot A+\cot B+\cot C$$=\frac{a^2+b^2+c^2}{4S};$

b) $m_a^2+m_b^2+m_c^2=\frac{3}{4}\left(a^2+b^2+c^2\right).$

Trả lời

a) Áp dụng định lí côsin ta có:

cosA = $\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$        (1)

Áp dụng công thức tính diện tích tam giác ta có:

$S=\frac{1}{2}bc.\sin A$

$\Rightarrow \sin A=\frac{2S}{bc}$                  (2)

Từ (1) và (2) ta có:

cotA = $\frac{\cos A}{\sin A}=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}:\frac{2S}{bc}$

$\Rightarrow \cot A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}.\frac{bc}{2S}$

$\Rightarrow \cot A=\frac{b^2+c^2-a^2}{4S}.$

Chứng minh tương tự ta cũng có:

$\cot B=\frac{a^2+c^2-b^2}{4S}$ và  $\cot C=\frac{a^2+b^2-c^2}{4S}$

Do đó cotA + cotB + cotC

$=\frac{b^2+c^2-a^2}{4S}+\frac{a^2+c^2-b^2}{4S}$$+\frac{a^2+b^2-c^2}{4S}$

$=\frac{a^2+b^2+c^2}{4S}$

Vậy $\cot A+\cot B+\cot C=\frac{a^2+b^2+c^2}{4S}.$

b) Áp dụng công thức tính độ dài đường trung tuyến ta có:

$m_a^2=\frac{b^2+c^2}{2}-\frac{a^2}{4};$ $m_b^2=\frac{a^2+c^2}{2}-\frac{b^2}{4}$ và $m_c^2=\frac{a^2+b^2}{2}-\frac{c^2}{4}.$

Do đó:

Vậy $m_a^2+m_b^2+m_c^2=\frac{3}{4}\left(a^2+b^2+c^2\right).$

Xem thêm các bài giải SBT Toán lớp 10 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

Bài tập cuối chương 2

Bài 5: Giá trị lượng giác của một góc từ 0° đến 180°

Bài 6: Hệ thức lượng trong tam giác

Bài tập cuối chương 3

Bài 7: Các khái niệm mở đầu

Bài 8: Tổng và hiệu của hai vectơ