Cho tam giác ABC cân tại A; M là một điểm thuộc đường thẳng BC, B ở giữa M và C. Gọi E, K lần lượt là chân đường vuông góc hạ từ M và từ B xuống AC

Bài 3.45 trang 75 Toán 8 Tập 1: Cho tam giác ABC cân tại A; M là một điểm thuộc đường thẳng BC, B ở giữa M và C. Gọi E, K lần lượt là chân đường vuông góc hạ từ M và từ B xuống AC, còn N, D lần lượt là chân đường vuông góc hạ từ B xuống MEvà từ M xuống AB (H.3.61).

Chứng minh rằng:

a) Tứ giác BKEN là hình chữ nhật.

b) BK bằng hiệu khoảng cách từ M đến AC và đến AB (dù M thay đổi trên đường thẳng BC miễn là B nằm giữa M và C) tức là BK = ME – MD.

Trả lời

a) Vì ME ⊥ AC; BK ⊥ AC; BN ⊥ ME nên $\widehat{NEK}=90°;\widehat{BKE}=90°;\widehat{BNE}=90°$ .

Suy ra $\widehat{NBK}=360°-\widehat{NEK}-\widehat{BKE}-\widehat{BNE}$

$=360°-90°-90°-90°=90°$.

Tứ giác BKEN có $\widehat{NEK}=90°;\widehat{BKE}=90°;\widehat{BNE}=90°$ ; $\widehat{NBK}=90°$ .

Do đó, tứ giác BKEN là hình chữ nhật.

b) Khoảng cách từ M đến AC và AB lần lượt là ME và MD.

Tứ giác BKEN là hình chữ nhật nên NE = BK (1)

Ta có BN ⊥ ME; CE ⊥ ME nên BN // EC.

Suy ra $\widehat{MBN}=\widehat{BCA}$ (hai góc đồng vị)

Mà $\widehat{ABC}=\widehat{BCA}$ (vì ∆ABC cân tại A); $\widehat{ABC}=\widehat{MBD}$ (hai góc đối đỉnh)

Do đó $\widehat{MBN}=\widehat{MBD}$ .

Xét ∆MBN và ∆MBD có:

$\widehat{MNB}=\hat{D}=90°$

Cạnh BM chung

$\widehat{MBN}=\widehat{MBD}$ (chứng minh trên)

Do đó ∆MBN = ∆MBD (cạnh huyền – góc nhọn)

Suy ra MN = MD (hai cạnh tương ứng) (2)

Từ (1) và (2) suy ra: ME = MN + NE = MD + BK.

Do đó BK = NE = ME – BD.

Xem thêm các bài giải SGK Toán 8 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác: