Cho tam giác ABC cân tại A có cạnh bên bằng 6 và \(\widehat {BAC} = 120^\circ \). Điểm M thuộc cạnh AB sao cho AM = \(\frac{1}{3}AB\) và N là trung điểm AC. Tính tích vô hướng \[\overrightarrow {BN} .\overrightarrow {CM} \].

\[\overrightarrow {BN} = \overrightarrow {BA} + \overrightarrow {AN} = - \overrightarrow {AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow {AC} \]

\[\overrightarrow {CM} = \overrightarrow {CA} + \overrightarrow {AM} =  - \overrightarrow {AC} + \frac{1}{3}\overrightarrow {AB} \]

Suy ra: \[\overrightarrow {BN} .\overrightarrow {CM} = \left( { - \overrightarrow {AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow {AC} } \right)\left( { - \overrightarrow {AC} + \frac{1}{3}\overrightarrow {AB} } \right)\]

\[ = \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} - \frac{1}{2}A{C^2} - \frac{1}{3}A{B^2} + \frac{1}{6}\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} \]

\[ = - \frac{1}{2}A{C^2} - \frac{1}{3}A{B^2} + \frac{7}{6}\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} \]

\[ = - \frac{1}{2}{.6^2} - \frac{1}{3}{.6^2} + \frac{7}{6}\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} \]

\[\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = \left| {\overrightarrow {AB} } \right|.\left| {\overrightarrow {AC} } \right|.\cos \widehat A = 6.6.\left( {\frac{{ - 1}}{2}} \right) = - 18\]

Suy ra: \[\overrightarrow {BN} .\overrightarrow {CM} = - 30 + \frac{7}{6}.\left( { - 18} \right) = - 51\].