Cho số phức z thỏa mãn |z − 4 − i| = |z + i|. Gọi z = a + bi (a; b Î ℝ) là số phức thỏa mãn |z − 1 + 3i| nhỏ nhất. Giá trị của biểu thức T = 2a + 3b là:

Đặt M (z); A(4; 1), B(0; −1) là các điểm biểu diễn số phức z; 4 + i và −i.

Khi đó từ giả thiết suy ra MA = MB, tập hợp điểm biểu diễn số phức z là đường trung trực của AB đi qua I(2; 0) và có VTPT là  $\overrightarrow{n}=\overrightarrow{AB}=\left(-4;-2\right)$

Þ ∆: −4(x − 2) − 2y = 0

Þ ∆: 2x + y − 4 = 0

Gọi N(1; −3) là điểm biểu diễn số phức 1 − 3i

Ta có |z − 1 + 3i| nhỏ nhất khi MN_min khi M  là hình chiếu vuông góc của N trên ∆, suy ra MN: x − 2y + 1 = 0

Giải hệ phương trình  $\left\{\begin{array}{l}2x+y-4=0\\ x-2y-7=0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x=3\\ y=-2\end{array}\right.$

Þ M(3; −2)

Þ z = 3 − 2i

Khi đó T = 2a + 3b = 2.3 + 3.(−2) = 0.