Cho số phức z thỏa mãn |z| = 4. Biết tập hợp biểu diễn các số phức w = (3 + 4i)z

Trả lời

Giả sử w = a + bi. Ta có

w = (3 + 4i)z + i

Û a + bi = (3 + 4i)z + i

Û a + (b − 1)i = (3 + 4i)z

$\iff z=\frac{a+\left(b-1\right)i}{3+4i}$

$\iff z=\frac{\left[a+\left(b-1\right)i\right]\left(3-4i\right)}{\left(3+4i\right)\left(3-4i\right)}=\frac{\left[a+\left(b-1\right)i\right]\left(3-4i\right)}{25}$

$\iff z=\frac{1}{25}\left[3a+4b-4+\left(-4a+3b-3\right)i\right]$

 Theo giả thiết cho |z| = 4 nên ta có:

$\frac{1}{{25}^2}\left[{\left(3a+4b-4\right)}^2+{\left(-4a+3b-3\right)}^2\right]=4^2$

Û (3a + 4b − 4)² + (−4a + 3b − 3)² = 100²

Û 25a² + 25b² + 25 − 50b = 100²

Û a² + b² − 2b + 1 = 20²

Û a² + (b − 1)² = 20²

Tập hợp các điểm trong mặt phẳng tọa độ Oxy biểu diễn số phức w là một đường tròn có bán kính bằng 20.