Cho số phức z thỏa mãn  $\left|z+i+1\right|=\left|\overline{z}-2i\right|$. Tìm giá trị nhỏ nhất của |z|.

Đặt z = x + yi (x, y Î ℝ)

 $\Rightarrow \overline{z}=x-yi$

Ta có:  $\left|z+i+1\right|=\left|\overline{z}-2i\right|$

 $\iff \sqrt{{\left(x+1\right)}^2+{\left(y+1\right)}^2}=\sqrt{x^2+{\left(-y-2\right)}^2}$

Û (x + 1)² + (y + 1)² = x² + (y + 2)²

Û x² + 2x + 1 + y² + 2y + 1 = x² + y² + 4y + 4

Û 2x − 2y = 2

Û x − y = 1

Û x = y + 1

Khi đó, mô đun của số phức z là:

 $\left|z\right|=\sqrt{x^2+y^2}=\sqrt{{\left(y+1\right)}^2+y^2}=\sqrt{y^2+2y+1+y^2}$

 $=\sqrt{2y^2+2y+1}=\sqrt{\left(2y^2+2.\sqrt{2}y.\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{2}\right)+\frac{1}{2}}$

 $=\sqrt{{\left(y\sqrt{2}+\frac{1}{\sqrt{2}}\right)}^2+\frac{1}{2}}\ge \frac{\sqrt{2}}{2}$

Dấu “=” xảy ra  $\iff y\sqrt{2}=-\frac{1}{\sqrt{2}}\iff y=-\frac{1}{2}\Rightarrow x=\frac{1}{2}$.

Vậy GTNN của |z| là  $\frac{\sqrt{2}}{2}$ khi  $x=\frac{1}{2},y=-\frac{1}{2}$.