Cho số phức z = a = bi ( a,b thuộc R) sao cho | z+ 2/ z-i| =1  và | 2z- 2i / z-1|= 2 Tính trị của biểu thứcS = a + b.

Cho số phức $z=a+bi(a,b\in ℝ)$ sao cho $\left|\frac{z+2}{z-i}\right|=1$ và $\left|\frac{2z-2i}{z-1}\right|=2.$ Tính trị của biểu thứcS = a + b.

Trả lời

Điều kiện: $z\ne 1;z\ne i.$

Ta có $\left|\frac{z+2}{z-i}\right|=1\iff |z+2|=|z-i|\iff |a+2+bi|=|a+(b-1\left)i\right|$

$\iff {(a+2)}^2+b^2=a^2+{(b-1)}^2\iff 4a+2b+3=0.\text{ (1) }$

Lại có, $\left|\frac{2z-2i}{z-1}\right|=2\iff |z-i|=|z-1|\iff |a+(b-1\left)i\right|=|a-1+bi|$ 

$\iff a^2+{(b-1)}^2={(a-1)}^2+b^2\iff a-b=0$. (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}4a+2b=-3\\ a-b=0\end{array}\iff \left\{\begin{array}{l}a=-\frac{1}{2}\\ b=-\frac{1}{2}\end{array}\right.\right..$

Vậy $S=a+b=-1.$

Chọn D