Cho S = 1 + 3 + 3² + … + 3³⁰. Tìm chữ số tận cùng của S. Từ đó, suy ra S không phải là số chính phương.

Ta có S = 1 + 3 + 3² + … + 3³⁰

= (1 + 3 + 3² + 3³) + (3⁴ + 3⁵ + 3⁶ + 3⁷) +…+ (3²⁴ + 3²⁵ + 3²⁶ + 3²⁷) + 3²⁸ + 3²⁹+ 3³⁰

= (1 + 3 + 3² + 3³) + 3⁴.(1 + 3 + 3² + 3³) +…+ 3²⁴.(1 + 3 + 3² + 3³) + 3²⁸ + 3²⁹ + 3³⁰

= 40 + 3⁴ . 40+…+ 3²⁴ . 40 + 3²⁸ + 3²⁹ + 3³⁰

= 40 . (1 + 3⁴ + … + 3²⁴) + 3²⁸ + 3²⁹ + 3³⁰

= 4 . 10 . (1 + 3⁴ + … + 3²⁴) + 3²⁸ + 3²⁹ + 3³⁰

Nhận thấy 4 . 10 . (1 + 3⁴ + … + 3²⁴) có chữ số tận cùng là 0.

• 3²⁸ = 3^4.7 = …1

• 3²⁹ = 3²⁸.3 = …1 × 3 = …3

• 3³⁰ = 3²⁸.3² = …1 × 9 = …9

Tổng S có tận cùng là: 0 + 1 + 3 + 9 = …3.

Vì số chính phương không có tận cùng là 3 nên S không là số chính phương.