Cho phương trình: x² – 5x + m – 1 = 0 (*). Tìm m để phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt x₁; x₂ sao cho: \(2{x_2} = \sqrt {{x_1}} \).

Ta có: x² – 5x + m – 1 = 0

∆ = (–5)² – 4(m – 1) = 25 – 4m + 4 = 29 – 4m

Để (*) có 2 nghiệm phân biệt thì ∆ > 0 hay 29 – 4m > 0. Suy ra: m < \(\frac{{29}}{4}\)

Áp dụng hệ thức Vi–ét ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 5\\{x_1}{x_2} = m - 1\end{array} \right.\) (1)

Theo bài ra: \(2{x_2} = \sqrt {{x_1}} \)(điều kiện x₁ ≥ 0)

⇔ 4x₂² = x_1­ (2)

Thế (2) vào (1) ta được:

\(\left\{ \begin{array}{l}4{x_2}^2 + {x_2} - 5 = 0\\4{x_2}^2 - m + 1 = 0\end{array} \right.\)

⇔ \[\left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}{x_2} = \frac{{ - 5}}{4}\left( L \right)\\{x_2} = 1\end{array} \right.\\4{x_2}^2 - m + 1 = 0\end{array} \right.\]

⇔\[\left\{ \begin{array}{l}{x_2} = 1\\m = 5\end{array} \right.\]

Vậy m = 5.