Điều kiện $\left\{\begin{array}{l}x>0\\ e^x\ge m\end{array}\right.$

Ta có $\left({\log }_2^{2}x-{\log }_2\frac{x^3}{4}\right)\sqrt{e^x-m}=0\left(1\right)\iff \left[\begin{array}{l}{\log }_2^{2}x-{\log }_2\frac{x^3}{4}=0\\ \sqrt{e^x-m}=0\end{array}\right.$

+) ${\log }_2^{2}x-{\log }_2\frac{x^3}{4}=0\iff {\log }_2^{2}x-3{\log }_{2}x+2=0\iff \left[\begin{array}{l}{\log }_{2}x=1\\ {\log }_{2}x=2\end{array}\iff \left[\begin{array}{l}x=2\\ x=4\end{array}\right.\right.$

+) $\sqrt{e^x-m}=0\iff e^x=m$

Xét 3 trường hợp:

Trường hợp 1: $m\le 0$, điều kiện của phương trình là  x > 0 phương trình (1) có 2 nghiệm là x = 4 và x = 2

Trường hợp 2: $0<m\le 1$, điểu kiện của phương trình là x > 0

Khi đó, phương trình $e^x=m$ có 1 nghiệm là $x=\ln m\le 0$ nên phương trình (1) có 2 nghiệm là x = 2 và x = 4

Trường hợp 3: m > 1, từ $e^x\ge m\Rightarrow x\ge \ln m$

Nên phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt $\iff 2\le \ln m<4\iff e^2\le m<e^4$

Khi đó phương trình đã cho có 2 nghiệm là $x=\ln m$ và x = 4

Suy ra, các giá trị m để phương trình có 2 nghiệm là $m\le 1$ và $e^2\le m<e^4$

Do đó các giá trị nguyên $m\in [-10;10]$ thỏa mãn yêu cầu bài toán là

$S=\{-10;-9;-8;-7;-6;-5;-4;-3;-2;-1;0;1;8;9;10\}\text{. }$

Vậy tổng các phần tử của S là -27.

Chọn C