Cho phương trình \[4\sin \left( {x + \frac{\pi }{3}} \right).\cos \left( {x - \frac{\pi }{6}} \right) = {a^2} + \sqrt 3 \sin 2x - \cos 2x(1)\]. Gọi n là số giá trị nguyên của tham số a để phương trình (1) có nghiệm. Tính n.

A. n = 5;

B. n = 3;

C. n = 2;

D. n = 1.

Đáp án đúng là: A

Ta có: \(4\sin \left( {x + \frac{\pi }{3}} \right).\cos \left( {x - \frac{\pi }{6}} \right) = {a^2} + \sqrt 3 \sin 2x - \cos 2x & (1)\)

⇔ \(\sin \left( {2x + \frac{\pi }{6}} \right) + 1 = \frac{{{a^2}}}{2} + \frac{{\sqrt 3 }}{2}\sin 2x - \frac{1}{2}\cos 2x\)

\( \Leftrightarrow \sin \left( {2x + \frac{\pi }{6}} \right) + 1 = \frac{{{a^2}}}{2} + \sin \left( {2x - \frac{\pi }{6}} \right)\)

\( \Leftrightarrow \sin \left( {2x + \frac{\pi }{6}} \right) - \sin \left( {2x - \frac{\pi }{6}} \right) = \frac{{{a^2}}}{2} - 1\)

\( \Leftrightarrow 2\cos 2x.\sin \frac{\pi }{3} = \frac{{{a^2}}}{2} - 1 \Leftrightarrow \cos 2x = \frac{{{a^2}}}{2} - 1\)

Phương trình (1) có nghiệm khi và chỉ khi:

\( - 1 \le \frac{{{a^2}}}{2} - 1 \le 1 \Leftrightarrow 0 \le \frac{{{a^2}}}{2} \le 2\)

⇔ 0 ≤ a² ≤ 4

⇔ −2 ≤ a ≤ 2

Do a ∈ ℤ nên a = 0; a = ± 1; a = ± 2.

Vậy n = 5.