Cho phương trình 3^x + m = log₃ (x − m) với m là tham số. Có bao nhiêu giá trị nguyên của mÎ (−15; 15) để phương trình đã cho có nghiệm?

Đặt log₃ (x − m) = y Û x − m = 3^y Û x = 3^y + m

Ta có hệ: \(\left\{ \begin{array}{l}{3^x} + m = y\;\;\;\left( 1 \right)\\{3^y} + m = x\;\;\;\left( 2 \right)\end{array} \right.\)

Trừ vế cho vế của (1) cho (2) ta được 3^x + x = 3^y + y (*)

Xét f (t) = 3^t + t Þ f ′(t) = 3^tln 3 + 1 > 0, "t suy ra hàm số đồng biến trên ℝ.

(*) Û x = y

Khi đó (1) Û m = x − 3^x.

Xét g (x) = x − 3^x Þ g′ (x) = 1 − 3^xln 3 = 0

\( \Leftrightarrow x = {\log _3}\frac{1}{{\ln 3}}\).

Do đó m < −0,995 mà mÎ (−15; 15) nên m Î {−14; −13; ...; −1}.

Vậy có 14 giá trị nguyên của m thỏa mãn.