Cho phép vị tự tâm O tỉ số k và ba điểm A, B, C thẳng hàng sao cho B nằm giữa A và C

Hoạt động 3 trang 28 Chuyên đề Toán lớp 11: Cho phép vị tự tâm O tỉ số k và ba điểm A, B, C thẳng hàng sao cho B nằm giữa A và C. Giả sử A' = V_{(O, k)}(A), B' = V_{(O, k)}(B), C' = V_{(O, k)}(C).

a) Biểu diễn các vectơ $\overrightarrow{B\text{'}A\text{'}},\overrightarrow{B\text{'}C\text{'}}$lần lượt theo các vectơ $\overrightarrow{BA},\overrightarrow{BC}$.

b) Hai vectơ $\overrightarrow{BA}$ và $\overrightarrow{BC}$ có ngược hướng không?

c) Hai vectơ $\overrightarrow{B\text{'}A\text{'}}$ và $\overrightarrow{B\text{'}C\text{'}}$  có ngược hướng không? Từ đó, nêu mối quan hệ giữa ba điểm A', B', C'.

Trả lời

a) Vì A' = V_{(O, k)}(A), B' = V_{(O, k)}(B), C' = V_{(O, k)}(C) nên $\overrightarrow{B\text{'}A\text{'}}=k\overrightarrow{BA}$  và $\overrightarrow{B\text{'}C\text{'}}=k\overrightarrow{BC}$ .

b) Vì A, B, C thẳng hàng và B nằm giữa A và C nên hai vectơ $\overrightarrow{BA}$  và $\overrightarrow{BC}$  ngược hướng với nhau.

c) +) Với k > 0, ta có:

 $\overrightarrow{B\text{'}A\text{'}}=k\overrightarrow{BA}$ nên hai vectơ $\overrightarrow{B\text{'}A\text{'}}$ và $\overrightarrow{BA}$  cùng hướng với nhau.

 $\overrightarrow{B\text{'}C\text{'}}=k\overrightarrow{BC}$ nên hai vectơ $\overrightarrow{B\text{'}C\text{'}}$ và $\overrightarrow{BC}$  cùng hướng với nhau.

Mà hai vectơ $\overrightarrow{BA}$  và $\overrightarrow{BC}$  ngược hướng với nhau nên hai vectơ $\overrightarrow{B\text{'}A\text{'}}$ và $\overrightarrow{B\text{'}C\text{'}}$  ngược hướng với nhau.

+) Với k < 0, ta có:

$\overrightarrow{B\text{'}A\text{'}}=k\overrightarrow{BA}$ nên hai vectơ $\overrightarrow{B\text{'}A\text{'}}$  và $\overrightarrow{BA}$ ngược hướng với nhau.

 $\overrightarrow{B\text{'}C\text{'}}=k\overrightarrow{BC}$ nên hai vectơ $\overrightarrow{B\text{'}C\text{'}}$  và $\overrightarrow{BC}$ ngược hướng với nhau.

Mà hai vectơ $\overrightarrow{BA}$  và $\overrightarrow{BC}$  ngược hướng với nhau nên hai vectơ  và  ngược hướng với nhau.

Từ đó suy ra với k ≠ 0 thì hai vectơ $$$\overrightarrow{B\text{'}A\text{'}}$  và $\overrightarrow{B\text{'}C\text{'}}$  ngược hướng với nhau.

Do đó, ba điểm A', B', C' thẳng hàng và B' nằm giữa hai điểm A' và C'.

Xem thêm các bài giải Chuyên đề Toán lớp 11 Cánh diều hay, chi tiết khác:

Bài 1: Phép dời hình

Bài 2: Phép đồng dạng

Bài 1: Một vài yếu tố của lí thuyết đồ thị. Đường đi Euler và đường đi Hamilton

Bài 2: Một vài ứng dụng của lí thuyết đồ thị

Bài 1: Một số nội dung cơ bản về vẽ kĩ thuật

Bài 2: Đọc và vẽ bản vẽ kĩ thuật đơn giản