Cho parabol (P): y = x^2. Xét F(0; 1) và đường thẳng Δ: y + 1 = 0. Với điểm M(x; y) bất kì, chứng minh rằng MF = d(M, Δ) ⇔ M(x; y)
435
11/04/2023
HĐ5 trang 52 Toán 10 Tập 2: Cho parabol (P): y = x2. Xét F(0; 1) và đường thẳng Δ: y + 1 = 0. Với điểm M(x; y) bất kì, chứng minh rằng MF = d(M, Δ) ⇔ M(x; y) thuộc (P).
Trả lời
Ta có: MF=√x2+(y−1)2.
d(M, ∆) = |y+1|√02+12=|y+1|.
+) Giả sử MF = d(M, ∆), ta cần chứng minh M(x; y) thuộc (P).
Thật vậy, MF = d(M, ∆)
Bình phương cả hai vế của phương trình trên ta được:
x2 + (y – 1)2 = (y + 1)2
⇔ x2 – 4y = 0 ⇔ y = 14x2.
Vậy M thuộc (P).
+) Giả sử M(x; y) thuộc (P), ta cần chứng minh MF = d(M, Δ).
M(x; y) thuộc (P) nên y = 14x2 hay x2 = 4y, thay vào biểu thức tính MF ta có:
MF = √x2+(y−1)2=√4y+(y−1)2=√4y+y2−2y+1
=√y2+2y+1=√(y+1)2=|y+1| =d(M, ∆).
Vậy MF = d(M, Δ).