Cho parabol (P): y = x^2. Xét F(0; 1) và đường thẳng Δ: y + 1 = 0. Với điểm M(x; y) bất kì, chứng minh rằng MF = d(M, Δ) ⇔ M(x; y)

HĐ5 trang 52 Toán 10 Tập 2: Cho parabol (P): y = x². Xét F(0; 1) và đường thẳng Δ: y + 1 = 0. Với điểm M(x; y) bất kì, chứng minh rằng MF = d(M, Δ) ⇔ M(x; y) thuộc (P).

Trả lời

Ta có: $MF=\sqrt{x^2+{\left(y-1\right)}^2}$. 

d(M, ∆) = $\frac{\left|y+1\right|}{\sqrt{0^2+1^2}}=\left|y+1\right|$.

+) Giả sử MF = d(M, ∆), ta cần chứng minh M(x; y) thuộc (P). 

Thật vậy, MF = d(M, ∆)

Bình phương cả hai vế của phương trình trên ta được:

x² + (y – 1)² = (y + 1)² 

⇔ x² – 4y = 0 ⇔ y = $\frac{1}{4}$x². 

Vậy M thuộc (P). 

+) Giả sử M(x; y) thuộc (P), ta cần chứng minh MF = d(M, Δ).

M(x; y) thuộc (P) nên y = $\frac{1}{4}$x² hay x² = 4y, thay vào biểu thức tính MF ta có: 

MF = $\sqrt{x^2+{\left(y-1\right)}^2}=\sqrt{4y+{\left(y-1\right)}^2}=\sqrt{4y+y^2-2y+1}$

$=\sqrt{y^2+2y+1}=\sqrt{{\left(y+1\right)}^2}=\left|y+1\right|$ =d(M, ∆). 

Vậy MF = d(M, Δ).