Cho parabol (P): y = x² và đường thẳng (d): y = 2mx – 2m + 3

a. Khi m = \(\frac{1}{2}\). Xác định tọa độ giao điểm của (d) và (P)

b. Gọi A(x₁,y₁) và B(x₂,y₂) là các giao điểm của (d) và (P). Tìm các giá trị của m để y₁ + y₂ < 9

a) Xét phương trình hoành độ giao điểm:

x² = 2mx – 2m + 3

⇔ x² – 2mx + 2m – 3 = 0

Thay m = \(\frac{1}{2}\) ta được:

x² – x – 2 = 0

⇔ \(\left[ \begin{array}{l}x = 2\\x = - 1\end{array} \right.\)⇔\(\left[ \begin{array}{l}y = 4\\y = 1\end{array} \right.\)

Vậy giao điểm của (d) và (P) là (2;4) và (–1;1)

b) x² – 2mx + 2m – 3 = 0 (*)

∆' = m² –2m + 3 = (m – 1)² + 2 > 0 với mọi m

Suy ra: Phương trình (*) luôn có 2 nghiệm phân biệt

Theo hệ thức Vi – ét ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2m\\{x_1}.{x_2} = 2m - 3\end{array} \right.\)

\(\left\{ \begin{array}{l}{y_1} = {x_1}^2\\{y_2} = {x_2}^2\end{array} \right.\)

Lại có: y₁ + y₂ < 9

⇔ x₁² +x₂² < 9

⇔ (x₁ + x₂)² – 2x₁x₂ < 9

⇔ (2m)² – 2(2m– 3) < 9

⇔ 4m² – 4m + 6 < 9

⇔ 4m² – 4m + 1 < 4

⇔ (2m – 1)² < 4

⇔ –2 < 2m – 1 < 2

⇔ \(\frac{{ - 1}}{2} < m < \frac{3}{2}\)

Vậy \(\frac{{ - 1}}{2} < m < \frac{3}{2}\)