Cho (O; R) và (O; R') tiếp xúc ngoài tại A. Kẻ dây cung AM của (O) và dây cung AN của (O') sao cho AM vuông góc với AN. Chứng minh:

a) OM song song O'N;

b) Xác định vị trí của AM và AN để diện tích tứ giác OMNO' lớn nhất.

Xét ∆MAN vuông tại A có:  $\widehat{AMN}+\widehat{ANM}$ = 90° (1)

Và $\widehat{MAO}+\widehat{NAO\text{'}}$ = 90° = 180° − $\widehat{MAO}$  = 180° − 90° = 90° (2)

Lại có: ∆OMA cân tại O (OA = OM = R) ⇒ $\widehat{OAM}=\widehat{OMA}$  (3)

∆O’NA cân tại O (O’A = O’N = R’) ⇒ $\widehat{O\text{'}AN}=\widehat{O\text{'}NA}$  (4)

Từ (1), (2), (3) và (4) suy ra: $\widehat{OMN}+\widehat{MNO\text{'}}=\left(\widehat{OMA}+\widehat{AMN}\right)+\left(\widehat{ANM}+\widehat{O\text{'}NA}\right)$

= $\widehat{OMA}+\widehat{AMN}+\widehat{ANM}+\widehat{O\text{'}NA}$

= $\widehat{OMA}+\widehat{AMN}+\widehat{ANM}+\widehat{O\text{'}AN}$

= $\left(\widehat{OMA}+\widehat{O\text{'}AN}\right)+\left(\widehat{AMN}+\widehat{ANM}\right)$

= 90° + 90° = 180°

Tứ giác OMNO’ có $\widehat{OMN}+\widehat{MNO\text{'}}=180°$ nên MN // O’N.

b) Từ O’ kẻ O’H ⊥ OM. Khi đó: $S_{OMNO\text{'}}=\frac{\left(O\text{'}N+OM\right).O\text{'}H}{2}=\frac{\left(R\text{'}+R\right).O\text{'}H}{2}\le \frac{\left(R\text{'}+R\right).O\text{'}O}{2}=\frac{{\left(R\text{'}+R\right)}^2}{2}$

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi O’H = O’O hay H ≡ O ⇒ O’O ⊥ MO hoặc O’O ⊥ O’N

Vậy tứ giác MNO’O có diện tích lớn nhất là $\frac{{\left(R\text{'}+R\right)}^2}{2}$   khi O’O ⊥ MO hoặc O’O ⊥ O’N.