Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB =2R và điểm M nằm trên đường tròn đó (M ≠ A, B) tiếp tuyến tại điểm M của nửa đường tròn tâm O cắt các tiếp tuyến tại A và B. Lần lượt tại các điểm C, D. Gọi E là giao điểm của OC với AM, gọi F là giao điểm của OD và BM.

a) Chứng minh CD = AC + BD.

b) Chứng minh EF vuông góc BD và EF là tiếp tuyến đường tròn đi qua các điểm M, D, F.

a) Vì CA, CM là tiếp tuyến của (O) nên AC = CM

Tương tự: DM = DB

Suy ra: CM + DM = AC + BD ⇒ CD = AC + BD

b) Vì CA, CM là tiếp tuyến của (O) nên OC ⊥ AM tại E là trung điểm AM

Tương tự: OF ⊥ BM tại F là trung điểm BM

Suy ra: EF là đường trung bình của ∆MAB

⇒ EF // AB mà AB ⊥ BD nên EF ⊥ BD

Vì MB ⊥ OD tại F nên G là trung điểm DM, là tâm đường tròn ngoại tiếp ∆MDF

Mà GF là đường trung bình ∆MBD

Suy ra: GF // BD ⇒ GF ⊥ EF

Vậy EF là tiếp tuyến của đường tròn đi qua M, D, F.