Cho nửa đường tròn tâm O bán kính R đường kính AB. Gọi Ax By là các tia tiếp tuyến của nửa đường tròn và thuộc cùng 1 nửa mặt phẳng có chứa nửa đường tròn. Qua M thuộc nửa đường tròn vẽ tiếp tuyến với nửa đường tròn cắt Ax, By lần lượt tại C, D. Chứng minh rằng AC. BD = R².

Ta có:

•  ${\widehat{O}}_1={\widehat{O}}_2$ (tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau)

•  $$${\widehat{O}}_3={\widehat{O}}_4$ (tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau)

 $\Rightarrow \widehat{COD}={\widehat{O}}_2+{\widehat{O}}_3=\frac{1}{2}\left({\widehat{O}}_1+{\widehat{O}}_2+{\widehat{O}}_3+{\widehat{O}}_4\right)=90°$

Þ ΔCOD vuông tại O, có đường cao OM

Do CA và CM là hai tiếp tuyến cắt nhau nên CA = CM

Do DM và DB là hai tiếp tuyến cắt nhau nên DM = DB

Áp dụng hệ thức lượng ta có:

OM² = CM. MD

Þ R² = CA. DB (đpcm)

Vậy AC. BD = R².