Cho nửa đường tròn (O; R) đường kính AB, vẽ hai tiếp tuyến Ax, By với nửa đường tròn. Trên tia Ax lấy điểm E (E khác A, AE < R), trên nửa đường tròn lấy điểm M sao cho EM = EA, đường thẳng Em cắt tia By tại F.

a) Chứng minh EF là tiếp tuyến của đường tròn (O).

b) Chứng minh tam giác EOF là tam giác vuông.

c) Chứng minh AM.OE + BM.OF = AB.EF.

a) Xét ΔAOE và ΔMOE có: 

AO = MO = R

AE = ME (gt)

OE chung

⇒ ΔAOE = ΔMOE (c.c.c)

⇒ \(\widehat {EAO} = \widehat {EMO}\)

⇒ \(\widehat {EAO} = \widehat {EMO} = 90^\circ \)

⇒ EF là tiếp tuyến của (O) (đpcm)

b) EF và By cắt nhau tại F, theo tính chất của 2 tiếp tuyến cắt nhau, ta có:

\(\widehat {MOF} = \widehat {BOF}\)

Mà \(\widehat {MOE} = \widehat {AOE}\) (ΔAOE = ΔMOE)

⇒ \(\widehat {MOE} + \widehat {MOF} = \widehat {AOE} + \widehat {BOF} = \frac{1}{2}.180^\circ = 90^\circ \)

⇒ \(\widehat {EOF} = 90^\circ \) ⇒ ΔEOF là tam giác vuông (đpcm)

c) EF và Ax là 2 tiếp tuyến cắt nhau tại E

⇒ EA = EM mà OA = OM

⇒ OE là trung trực của AM ⇒ OE ⊥ AM (1)

ΔAMB nội tiếp đường tròn đường kính AB ⇒ ΔAMB vuông tại M

⇒ MA ⊥ MB (2)

Từ (1), (2) suy ra OE // MB

⇒ \(\widehat {MOE} = \widehat {OMB}\)(so le trong)

Mà \(\widehat {ABM} = \widehat {OMB}\)(ΔMOB cân tại O)

⇒ \(\widehat {ABM} = \widehat {MOE}\)

Lại có \(\widehat {AMB} = \widehat {EMO} = 90^\circ \)

⇒ ΔEMO đồng dạng với ΔAMB (g.g)

⇒ \(\frac{{EM}}{{OE}} = \frac{{AM}}{{AB}}\) ⇒ EM.AB = AM.OE (3)

Chứng minh tương tự, ta có ΔFMO đồng dạng với ΔBMA (g.g)

⇒ \(\frac{{FM}}{{FO}} = \frac{{BM}}{{AB}}\) ⇒ FM.AB = BM.OF (4)

Từ (3) và (4) suy ra: AM.OE + BM.OF = AB.(EM + FM) = AB.EF (đpcm).