Cho n là một số nguyên dương bất kỳ và T_n = 1⁵ + 2⁵ + 3⁵ + ... + n⁵ , A_n = 1 + 2 + 3 + ... + n. Chứng minh: T_n chia hết A_n.

Ta có tính chất aⁿ + bⁿ ⋮ a+b

Và A_n = $\frac{n\left(n+1\right)}{2}$  ⇒ 2A_n = n(n+1)

Nên ta có:

2T_n = 2 (1⁵ + 2⁵ + 3⁵ + ... + n⁵)

= (1⁵ + n⁵) + [2⁵ + (n – 1)⁵] + … + [2⁵ + (n – 2)⁵]+ …

Áp dụng tính chất ta có: 1⁵ + n⁵ ⋮ (n+1)

[2⁵ + (n−1)⁵] ⋮ (n+1)

[3⁵ + (n−2)⁵] ⋮ (n+1)

...

Nên T_n = (1⁵ + n⁵) + [2⁵ + (n − 1)⁵] + [3⁵ + (n−2)⁵] +... ⋮ (n + 1)

Hay 2T_n ⋮ (n+1)

 [1⁵+(n−1)⁵] ⋮ (1 + n – 1 = n)

(2⁵+(n−2)⁵] ⋮ n

[3+(n−3)]⁵ ⋮ n

....

Nên 2T_n = [1⁵ + (n−1)⁵] + (2⁵ + (n−2)⁵] + [3 + (n−3)]⁵ + ... + n ⋮ n

Hay 2T_n ⋮ n

Ta có: 2T_n ⋮ n; T_n ⋮ n(n + 1)

Mà (n; n+1) = 1 nên 2T_n ⋮ n.(n+1)

Hay 2T_n ⋮ 2A_n

⇒ T_n chia hết A_n.