Câu hỏi:

03/04/2024 50

Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là một tam giác cân với $A B = A C = a, \hat{B A C} = 120^{o},$ cạnh bên BB' = a. Gọi I là trung điểm CC'. Chứng minh rằng tam giác AB'I vuông ở A. Côsin của góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (AB'I) bằng

A. $\frac{\sqrt{15}}{10} .$

B. $\frac{\sqrt{30}}{10} .$

Đáp án chính xác

C. $\frac{10}{\sqrt{30}} .$

D. $\frac{\sqrt{15}}{\sqrt{30}} .$

Xem lời giải

Bắt Đầu Thi Thử

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Chọn đáp án B.

Áp dụng định lý Côsin cho $∆$ ABC ta có:

$B C^{2} = A B^{2} + A C^{2} - 2 A B . A C . \cos A = a^{2} + a^{2} - 2 a^{2} \cos 120^{o} = 3 a^{2} .$

Áp dụng định lý Py-ta-go, ta có:

$B^{'} A^{2} = 2 a^{2}; A I^{2} = a^{2} + {(\frac{a}{2})}^{2} = \frac{5 a^{2}}{4}; B^{'} I^{2} = 3 a^{2} + \frac{a^{2}}{4} = \frac{13 a^{2}}{4} .$

Ta có: $B^{'} A^{2} + A I^{2} = 2 a^{2} + \frac{5 a^{2}}{4} = \frac{13 a^{2}}{4} = B^{'} I^{2} \Rightarrow Δ A B^{'} I$ vuông ở A.

Ta có: $S_{Δ A B^{'} I} = \frac{1}{2} A I . A B^{'} = \frac{1}{2} . \frac{a \sqrt{5}}{2} . a \sqrt{2} = \frac{a^{2} \sqrt{10}}{4} .$

$S_{Δ A B C} = \frac{1}{2} a^{2} \sin 120^{o} = \frac{a^{2} \sqrt{3}}{4} .$

Gọi $φ$ là góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (AB'I).

Ta có $\cos φ = \frac{S_{Δ A B C}}{S_{Δ A B I^{'}}} = \frac{\frac{a^{2} \sqrt{3}}{4}}{\frac{a^{2} \sqrt{10}}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{10}} = \frac{\sqrt{30}}{10} .$

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh bằng a, SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SA = a góc giữa hai mặt phẳng (SAD) và (SBC) bằng

Xem đáp án » 03/04/2024 127

Câu 2:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật AB = a cạnh bên SA vuông góc với đáy và SA = a. Góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (SAD) bằng

Xem đáp án » 03/04/2024 108

Câu 3:

Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại $B, S A ⊥ (A B C), S A = \sqrt{3} c m, A B = 1 c m .$ Mặt bên (SBC) hợp với mặt đáy góc bằng

Xem đáp án » 03/04/2024 89

Câu 4:

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, SA = a và $S A ⊥ (A B C), A B = B C = a .$ Góc giữa hai mặt phẳng (SAC) và (SBC) bằng

Xem đáp án » 03/04/2024 77

Câu 5:

Cho hình chóp S.ABC có $S A ⊥ (A B C)$ và $A B ⊥ B C,$ gọi I là trung điểm BC. Góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) là góc nào sau đây?

Xem đáp án » 03/04/2024 76

Câu 6:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông và $S A ⊥ (A B C D) .$ Gọi O là tâm hình vuông ABCD. Khẳng định nào sau đây sai?

Xem đáp án » 03/04/2024 76

Câu 7:

Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh đáy bằng $a \sqrt{2},$ cạnh bên bằng 2a. Gọi $α$ là góc tạo bởi hai mặt phẳng (SAC)và (SCD). Giá trị của cos $α$ bằng

Xem đáp án » 03/04/2024 76

Câu 8:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và $D; A B = 2 a, A D = D C = a$ và $S A ⊥ (A B C D) .$ Tan của góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD) bằng

Xem đáp án » 03/04/2024 75

Câu 9:

Cho hình chóp S.ABC có hai mặt bên (SAB) và (SAC) vuông góc với đáy (ABC), tam giác ABC vuông cân ở A và có đường cao $A H (H \in B C) .$ Gọi O là hình chiếu vuông góc của A lên (SBC). Khẳng định nào sau đây đúng?

Xem đáp án » 03/04/2024 71

Câu 10:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A. Cạnh bên SA vuông góc mặt phẳng đáy và $S A = a \sqrt{2} .$ Biết $A B = 2 A D = 2 D C = 2 a .$ Góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SBC) là

Xem đáp án » 03/04/2024 70

Câu 11:

Cho tam giác ABC vuông cân tại A có AB = a trên đường thẳng d vuông góc với (ABC) tại điểm A ta lấy một điểm D. Góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (DBC) trong trường hợp $∆$ DBC là tam giác đều là

Xem đáp án » 03/04/2024 68

Câu 12:

Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' cạnh a. Các điểm M, N, P lần lượt thuộc các đường thẳng AA', BB', CC' thỏa mãn diện tích của tam giác MNP bằng a². Góc giữa hai mặt phẳng (MNP) và (ABCD) là

Xem đáp án » 03/04/2024 66

Câu 13:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông có độ dài đường chéo bằng $a \sqrt{2}$ và SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Gọi $α$ là góc giữa hai mặt phẳng (SBD) và (ABCD). Nếu $\tan α = \sqrt{2}$ thì góc giữa (SAC) và (SBC) bằng

Xem đáp án » 03/04/2024 65

Câu 14:

Cho hình chóp S.ABC có $S A ⊥ (A B C)$ và đáy ABC vuông ở A. Khẳng định nào sau đây sai?

Xem đáp án » 03/04/2024 56

Câu 15:

Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông, BA = BC = a, cạnh bên $A A^{'} = a \sqrt{2} .$ Gọi $φ$ là góc hợp bởi hai mặt phẳng (A'BC) và (ABC). Khi đó

Xem đáp án » 03/04/2024 54

Xem thêm các câu hỏi khác »

Đề thi liên quan

Xem thêm »

Đề kiểm tra Giữa kì 2 Toán 11 có đáp án (Mới nhất)

24 đề 1336 lượt thi Thi thử
Bộ 20 đề thi giữa học kì 1 Toán 11 năm 2022 - 2023 có đáp án

17 đề 963 lượt thi Thi thử
Bộ 20 đề thi học kì 1 Toán 11 năm 2022 - 2023 có đáp án

19 đề 880 lượt thi Thi thử
299 bài trắc nghiệm Tổ hợp xác suất từ đề thi đại học có lời giải chi tiết

10 đề 719 lượt thi Thi thử
100 câu trắc nghiệm Đạo hàm nâng cao

5 đề 598 lượt thi Thi thử
100 câu trắc nghiệm Tổ hợp - Xác suất cơ bản

6 đề 584 lượt thi Thi thử
Trắc nghiệm Toán 11 Bài 1. Giá trị lượng giác của góc lượng giác có đáp án

8 đề 502 lượt thi Thi thử
Đề kiểm tra học kì 1 Chuyên đề toán 11: Kiểm tra 15 phút có đáp án

10 đề 469 lượt thi Thi thử
100 câu trắc nghiệm Đạo hàm cơ bản

5 đề 456 lượt thi Thi thử
Đề thi Toán 11 Học kì 2 có đáp án

7 đề 440 lượt thi Thi thử

Xem thêm »

Hỏi bài

Câu hỏi mới nhất

Xem thêm »

Câu hỏi:

Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là một tam giác cân với AB=AC=a,BAC^=120o, cạnh bên BB' = a. Gọi I là trung điểm CC'. Chứng minh rằng tam giác AB'I vuông ở A. Côsin của góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (AB'I) bằng

A. 1510.

B. 3010.

C. 1030.

D. 1530.

Trả lời:

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh bằng a, SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SA = a góc giữa hai mặt phẳng (SAD) và (SBC) bằng

Câu 2:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật AB = a cạnh bên SA vuông góc với đáy và SA = a. Góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (SAD) bằng

Câu 3:

Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại B,SA⊥ABC,SA=3cm,AB=1cm. Mặt bên (SBC) hợp với mặt đáy góc bằng

Câu 4:

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, SA = a và SA⊥ABC,AB=BC=a. Góc giữa hai mặt phẳng (SAC) và (SBC) bằng

Câu 5:

Cho hình chóp S.ABC có SA⊥ABC và AB⊥BC, gọi I là trung điểm BC. Góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) là góc nào sau đây?

Câu 6:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông và SA⊥ABCD. Gọi O là tâm hình vuông ABCD. Khẳng định nào sau đây sai?

Câu 7:

Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a2, cạnh bên bằng 2a. Gọi α là góc tạo bởi hai mặt phẳng (SAC)và (SCD). Giá trị của cosα bằng

Câu 8:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D;AB=2a,AD=DC=a và SA⊥ABCD. Tan của góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD) bằng

Câu 9:

Cho hình chóp S.ABC có hai mặt bên (SAB) và (SAC) vuông góc với đáy (ABC), tam giác ABC vuông cân ở A và có đường cao AHH∈BC. Gọi O là hình chiếu vuông góc của A lên (SBC). Khẳng định nào sau đây đúng?

Câu 10:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A. Cạnh bên SA vuông góc mặt phẳng đáy và SA=a2. Biết AB=2AD=2DC=2a. Góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SBC) là

Câu 11:

Cho tam giác ABC vuông cân tại A có AB = a trên đường thẳng d vuông góc với (ABC) tại điểm A ta lấy một điểm D. Góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (DBC) trong trường hợp ∆DBC là tam giác đều là

Câu 12:

Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' cạnh a. Các điểm M, N, P lần lượt thuộc các đường thẳng AA', BB', CC' thỏa mãn diện tích của tam giác MNP bằng a2. Góc giữa hai mặt phẳng (MNP) và (ABCD) là

Câu 13:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông có độ dài đường chéo bằng a2 và SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Gọi α là góc giữa hai mặt phẳng (SBD) và (ABCD). Nếu tanα=2 thì góc giữa (SAC) và (SBC) bằng

Câu 14:

Cho hình chóp S.ABC có SA⊥ABC và đáy ABC vuông ở A. Khẳng định nào sau đây sai?

Câu 15:

Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông, BA = BC = a, cạnh bên AA'=a2. Gọi φ là góc hợp bởi hai mặt phẳng (A'BC) và (ABC). Khi đó

Đề thi liên quan

Câu hỏi mới nhất

Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là một tam giác cân với $A B = A C = a, \hat{B A C} = 120^{o},$ cạnh bên BB' = a. Gọi I là trung điểm CC'. Chứng minh rằng tam giác AB'I vuông ở A. Côsin của góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (AB'I) bằng

A. $\frac{\sqrt{15}}{10} .$

B. $\frac{\sqrt{30}}{10} .$

C. $\frac{10}{\sqrt{30}} .$

D. $\frac{\sqrt{15}}{\sqrt{30}} .$

Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại $B, S A ⊥ (A B C), S A = \sqrt{3} c m, A B = 1 c m .$ Mặt bên (SBC) hợp với mặt đáy góc bằng

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, SA = a và $S A ⊥ (A B C), A B = B C = a .$ Góc giữa hai mặt phẳng (SAC) và (SBC) bằng

Cho hình chóp S.ABC có $S A ⊥ (A B C)$ và $A B ⊥ B C,$ gọi I là trung điểm BC. Góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) là góc nào sau đây?

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông và $S A ⊥ (A B C D) .$ Gọi O là tâm hình vuông ABCD. Khẳng định nào sau đây sai?

Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh đáy bằng $a \sqrt{2},$ cạnh bên bằng 2a. Gọi $α$ là góc tạo bởi hai mặt phẳng (SAC)và (SCD). Giá trị của cos $α$ bằng

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và $D; A B = 2 a, A D = D C = a$ và $S A ⊥ (A B C D) .$ Tan của góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD) bằng

Cho hình chóp S.ABC có hai mặt bên (SAB) và (SAC) vuông góc với đáy (ABC), tam giác ABC vuông cân ở A và có đường cao $A H (H \in B C) .$ Gọi O là hình chiếu vuông góc của A lên (SBC). Khẳng định nào sau đây đúng?

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A. Cạnh bên SA vuông góc mặt phẳng đáy và $S A = a \sqrt{2} .$ Biết $A B = 2 A D = 2 D C = 2 a .$ Góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SBC) là

Cho tam giác ABC vuông cân tại A có AB = a trên đường thẳng d vuông góc với (ABC) tại điểm A ta lấy một điểm D. Góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (DBC) trong trường hợp $∆$ DBC là tam giác đều là

Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' cạnh a. Các điểm M, N, P lần lượt thuộc các đường thẳng AA', BB', CC' thỏa mãn diện tích của tam giác MNP bằng a². Góc giữa hai mặt phẳng (MNP) và (ABCD) là

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông có độ dài đường chéo bằng $a \sqrt{2}$ và SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Gọi $α$ là góc giữa hai mặt phẳng (SBD) và (ABCD). Nếu $\tan α = \sqrt{2}$ thì góc giữa (SAC) và (SBC) bằng

Cho hình chóp S.ABC có $S A ⊥ (A B C)$ và đáy ABC vuông ở A. Khẳng định nào sau đây sai?

Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông, BA = BC = a, cạnh bên $A A^{'} = a \sqrt{2} .$ Gọi $φ$ là góc hợp bởi hai mặt phẳng (A'BC) và (ABC). Khi đó