Bài tập chuyên đề Toán 11 Bài 1: Vecto trong không gian - Hai đường thẳng vuông góc có đáp án

Chủ đề 2: Góc Dạng 3. Góc giữa hai mặt phẳng

  • 279 lượt thi

  • 25 câu hỏi

  • 0 phút

Danh sách câu hỏi

Câu 1:

Cho hình chóp S.ABC SAABC ABBC, gọi I là trung điểm BC. Góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) là góc nào sau đây?
Xem đáp án
Chọn đáp án A
Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc (ABC) và AB vuông góc BC, gọi I là trung điểm BC. Góc (ảnh 1)

Ta có: BCSA,BCABBCSB.

Suy ra SBCABC=BCABBC,ABABCSBBC,SBSBC

SBC,ABC^=AB,SB^=SBA^.


Câu 2:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông và SAABCD. Gọi O là tâm hình vuông ABCD. Khẳng định nào sau đây sai?
Xem đáp án
Chọn đáp án C.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông và SA vuông góc (ABCD). Gọi O là tâm hình vuông (ảnh 1)

Ta có SADABCD=ADABAD,ABABCDSAAD,SASAD

SAD,ABCD^=SA,AB^=SAB^.


Câu 3:

Cho hình chóp S.ABC SAABC và đáy ABC vuông ở A. Khẳng định nào sau đây sai?
Xem đáp án
Chọn đáp án D.
Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc (ABC) và đáy ABC vuông ở A. Khẳng định nào sau đây sai? (ảnh 1)

+) SAABCSABABC nên đáp án A đúng.

+) ABAC,ABSAABSAC

SABSAC nên đáp án B đúng.

+) AHBC;BCSABCSAH

SHBCSBC,ABC^=SHA^.

Vậy đáp án C đúng.

+) SBCSAC=SC  nhưng BCSC  nên đáp án D sai.


Câu 4:

Cho tứ diện ABCD có AC = AD và BC = BD. Gọi I là trung điểm của CD. Khẳng định nào sau đây sai?
Xem đáp án
Chọn đáp án C.
Cho tứ diện ABCD có AC = AD và BC = BD. Gọi I là trung điểm của CD. Khẳng định nào sau đây sai? (ảnh 1)

Ta có: ABCABD=ABBCABBDAB

ABD,ABC^CBD^. Đáp án C sai.


Câu 5:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh bằng a, SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SA = a góc giữa hai mặt phẳng (SAD) và (SBC) bằng
Xem đáp án
Chọn đáp án D.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh bằng a, SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và (ảnh 1)

Ta có ABADABSAABSAD.

Gọi E là hình chiếu của A lên SB, dễ thấy AESBC.

Vậy góc giữa (SAD) và (SBC) là góc giữa AB và AE.

Ta có SAB vuông cân tại A nên SBA^=45o.

Suy ra BAE^=45o  là góc giữa AB và AE.             

Vậy góc giữa hai mặt phẳng (SAD) và (SBC) bằng 45°.


Câu 6:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, tam giác SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Côsin của góc hợp bởi hai mặt phẳng (SAB) và (SCD) bằng
Xem đáp án
Chọn đáp án A.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, tam giác SAB đều và nằm trong mặt (ảnh 1)

Gọi H, K là trung điểm của AB, CD.

Do SABABCD  nên SH là đường cao của hình chóp.

Ta có  HKAB,HKSHHKSAB1

Dựng HISKHISCD2.

Từ (1) và (2) ta có góc hợp bởi hai mặt phẳng (SAB) và (SCD) là HK,HI=IHK^.

Ta có SH=a32;HK=a.

1HI2=1SH2+1HK2HI=a32.a34a2+a2=217.

Vây cosIHK^=HIHK=217.


Câu 7:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật AB = a cạnh bên SA vuông góc với đáy và SA = a. Góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (SAD) bằng
Xem đáp án
Chọn đáp án D.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật AB = a cạnh bên SA vuông góc với đáy và SA = a. (ảnh 1)

Mặt phẳng (SBC) và mặt phẳng (SAD) cắt nhau theo giao tuyến là đường thẳng d//BC//AD.

SAd,SBd nên SBC,SAD^=SA,SB^=ASB^.

Vậy ASB vuông cân tại A nên ASB^=45o.


Câu 8:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, cạnh a. Đường thẳng SO vuông góc với mặt phẳng đáy (ABCD) và SO=a32. Góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD) bằng
Xem đáp án
Chọn đáp án C.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, cạnh a. Đường thẳng SO vuông góc với (ảnh 1)

Gọi Q là trung điểm BC, suy ra OQBC.

Ta có BCOQBCSOSBC,ABCD^=SQ,OQ^=SQO^.

Tam giác vuông SOQ có tanSQO^=SOOQ=a32a2=3SQO^=60o.

Vậy mặt phẳng (SBC) hợp với mặt đáy (ABCD) một góc 60°.


Câu 9:

Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại B,SAABC,SA=3cm,AB=1cm. Mặt bên (SBC) hợp với mặt đáy góc bằng
Xem đáp án

Chọn đáp án B

Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại B, SA vuông góc (ABC), SA = căn bậc 2 3 cm, AB = 1cm (ảnh 1)

Ta có SAABC nên SABC mà ABBC.

Suy ra BCSABSBBC.

SBCABC=BCABBCSBBCSBC,ABC^=SBA^.tanSBA^=SAAB=31=3SBA^=60o.

Vậy góc giữa (SBC) và mặt đáy (ABC) bằng 60o


Câu 10:

Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông, BA = BC = a, cạnh bên AA'=a2. Gọi φ là góc hợp bởi hai mặt phẳng (A'BC) và (ABC). Khi đó
Xem đáp án
Chọn đáp án C.
Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông, BA = BC = a, cạnh bên AA' = a căn (ảnh 1)

Ta có: BCBABCAA'BCAA'B'BBCA'B.

Do A'BCABC=BCA'BA'BC;A'BBCABABC;ABBC nên A'BA^=φ là góc hợp bởi hai mặt phẳng (A'BC) và (ABC).

Xét A'BC vuông tại A ta có tanφ=A'ABA=a2a=2.


Câu 11:

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, SA = a SAABC,AB=BC=a.  Góc giữa hai mặt phẳng (SAC) và (SBC) bằng
Xem đáp án
Chọn đáp án C.
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, SA = a và SA vuông góc (ABC), AB = BC = a (ảnh 1)

Ta có SACSBC=SC.

Gọi F là trung điểm AC thì BFSAC.

Dựng BKSC  tại KSCBKFSAC,SBC^=KB,KF^=BKF^.

Dễ thấy ΔCFKΔCSAFKFC=SASCFK=FC.SASC=a22.aa3=a6.

BFK vuông tại F có tanBKF^=FBFK=a22a6=3BKF^=60o.

Vậy góc giữa hai mặt phẳng (SAC) và (SBC) bằng 60°.


Câu 12:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông có độ dài đường chéo bằng a2 SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Gọi α là góc giữa hai mặt phẳng (SBD) và (ABCD). Nếu tanα=2  thì góc giữa (SAC) và (SBC) bằng
Xem đáp án
Chọn đáp án C.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông có độ dài đường chéo bằng a căn bậc 2 2 và (ảnh 1)

Gọi O là tâm đáy và K là hình chiếu vuông góc của O trên SC.

Do BDACBDSA  nên BDSACBDSO.

Suy ra góc giữa hai mặt phẳng (SBD) và (ABCD) là góc SOA^=α.

Ta có tanα=SAOA=2SA=OA.2=a.

Do SCBDSCOK  nên SCBK.

Suy ra góc giữa hai mặt phẳng (SAC) và (SBC) là BKO^.

Ta có tanBKO^=BOOK=BO12dA,SC=2BOSA.ACSA2+AC2=2.22.12+221.2=3.

Suy ra BKO^=60o.


Câu 13:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SAB là tam giác đều và (SAB) vuông góc với (ABCD). Gọi φ là góc tạo bởi (SAC) và (SCD). Giá trị của cosφ bằng
Xem đáp án
Chọn đáp án C.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, tam giác SAB là tam giác đều và (SAB) (ảnh 1)

Gọi H, M lần lượt là trung điểm của AB, CD. Vì SAB là tam giác đều và (SAB) vuông góc với (ABCD) nên SHABCD.

Kẻ AKSCKSC,DISCISC,IP//AKPAC.

Suy ra φ=IP,ID^.

Ta có HC=HD=a52,SC=SD=a2,SM=a72DI=SM.CDSD=a144.

ΔCSA=ΔSCDAK=DI=a144.CI=SK=CD2DI2=a24CK=3a24.ΔCPIΔCAKIP=CICK.AK=a1412,AP=KICK.AC=2a23.

Áp dụng định lí côsin, ta có

APD có PD=AP2+AD22AP.AD.cos45o=a53.

IPD có cosPID^=IP2+ID2DP22.IP.ID=57.

Vậy cosφ=57.


Câu 14:

Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' cạnh a. Các điểm M, N, P lần lượt thuộc các đường thẳng AA', BB', CC' thỏa mãn diện tích của tam giác MNP bằng a2. Góc giữa hai mặt phẳng (MNP) và (ABCD) là
Xem đáp án
Chọn đáp án A.
Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' cạnh a. Các điểm M, N, P lần lượt thuộc các đường thẳng AA', BB' (ảnh 1)

Gọi α là số đo góc của hai mặt phẳng (MNP) và (ABCD).

Ta có hình chiếu vuông góc của tam giác MNP lên (ABCD) là ABC.

Áp dụng công thức hình chiếu về diện tích ta có

S'ΔABC=SΔMNP.cosα12AB.BC=a2.cosαcosα=12α=60o.

Vậy góc của hai mặt phẳng (MNP) và (ABCD) bằng 60°.


Câu 15:

Cho tam giác ABC vuông cân tại A có AB = a trên đường thẳng d vuông góc với (ABC) tại điểm A ta lấy một điểm D. Góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (DBC) trong trường hợp DBC là tam giác đều là
Xem đáp án
Chọn đáp án B.
Cho tam giác ABC vuông cân tại A có AB = a trên đường thẳng d vuông góc với (ABC) tại điểm A (ảnh 1)

Gọi φ là góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (DBC).

Theo công thức diện tích hình chiếu của đa giác, ta có: SΔABC=SΔDBC.cosφ.

Mà SΔDBC=12DB.DC.sin60o=12a2.a2.32=a232.

Mặt khác SΔABC=12AB.AC=12a2.

Suy ra cosφ=SΔABCSΔDBC=33φ=arccos33.


Câu 16:

Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là một tam giác cân với AB=AC=a,BAC^=120o, cạnh bên BB' = a. Gọi I là trung điểm CC'. Chứng minh rằng tam giác AB'I vuông ở A. Côsin của góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (AB'I) bằng
Xem đáp án
Chọn đáp án B.
Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là một tam giác cân với AB = AC = a. góc BAC = 120 độ,  (ảnh 1)

Áp dụng định lý Côsin cho ABC ta có: 

BC2=AB2+AC22AB.AC.cosA=a2+a22a2cos120o=3a2.

Áp dụng định lý Py-ta-go, ta có:

B'A2=2a2;AI2=a2+a22=5a24;B'I2=3a2+a24=13a24.

Ta có: B'A2+AI2=2a2+5a24=13a24=B'I2ΔAB'I  vuông ở A.

Ta có: SΔAB'I=12AI.AB'=12.a52.a2=a2104.

SΔABC=12a2sin120o=a234.

Gọi φ là góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (AB'I).

Ta có cosφ=SΔABCSΔABI'=a234a2104=310=3010.


Câu 17:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông và SAABCD, gọi O là tâm hình vuông ABCD. Khẳng định nào sau đây sai?
Xem đáp án
Chọn đáp án C

Ta có: SADABCD=ADABAD,ABABCDSAAD,SASADSAD,ABCD^=SAB^.

Vậy đáp án C sai.


Câu 18:

Cho hình chóp S.ABC có hai mặt bên (SAB) và (SAC) vuông góc với đáy (ABC), tam giác ABC vuông cân ở A và có đường cao AHHBC. Gọi O là hình chiếu vuông góc của A lên (SBC). Khẳng định nào sau đây đúng?
Xem đáp án

Chọn đáp án B

Cho hình chóp S.ABC có hai mặt bên (SAB) và (SAC) vuông góc với đáy (ABC), tam giác ABC vuông (ảnh 1)

Ta có SABSAC=SASACABCSABABCSAABC.

Gọi H là trung điểm của BCAHBC  mà BCSA

BCSAHSBCSAH.

Khi đó O là hình chiếu vuông góc của A lên (SBC).

Suy ra OSH  SBC,ABC^=SHA^  D sai

Câu 19:

Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có diện tích tam giác ABC bằng 5. Gọi M, N, P lần lượt thuộc các cạnh AA', BB', CC' và diện tích tam giác MNP bằng 10. Góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (MNP) bằng
Xem đáp án

Chọn đáp án A

Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có diện tích tam giác ABC bằng 5. Gọi M, N, P lần lượt thuộc các (ảnh 1)

ABC là hình chiếu của MNP lên mặt phẳng (ABC).

Theo công thức diện tích hình chiếu có S'=Scosφ  với

S'=SABC;S=SMNP và φ=ABC;MNP^.

Suy ra cosφ=S'S=510=12.  Suy ra φ=60o.


Câu 20:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại AD;AB=2a,AD=DC=a SAABCD. Tan của góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD) bằng
Xem đáp án

Chọn đáp án A

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D; AB = 2a, AD = DC = a và SA vuông (ảnh 1)

Ta có SBCABCD=BC.

Dễ dàng chứng minh được: ACBC.

BCSACBCSCSBC,ABCD^=SCA^.tanSCA^=SAAC=aa2=12.


Câu 21:

Lăng trụ tam giác đều ABC.A'B'C' có cạnh đáy bằng a. Gọi M là điểm trên cạnh AA' sao cho AM=3a4.  Tan của góc hợp bởi hai mặt phẳng (MBC) và (ABC) là
Xem đáp án

Chọn đáp án C

Lăng trụ tam giác đều ABC.A'B'C' có cạnh đáy bằng a. Gọi M là điểm trên cạnh AA' sao cho AM = 3a/4 (ảnh 1)

Gọi D là trung điểm của BC.

Ta có MBCABC=BC;

BCAD;BCAMBCAMD.

Do đó α=MBC,ABC^=DM,AD^=MDA^.

Vì tam giác MAD vuông tại A nên tanα=AMAD=3a4.2a3=32.

Câu 22:

Cho hình chóp đều S.ABC có chiều cao bằng a, thể tích bằng 3a3. Góc tạo bởi mặt bên và mặt đáy bằng
Xem đáp án

Chọn đáp án C

Gọi M là trung điểm của BC, suy ra AMBC  (vì ABC đều).

Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác ABC, suy ra SOABC  và SO = a

Khi đó góc giữa mặt bên (SBC) và mặt đáy (ABC) là góc SMO^.

Ta có VS.ABC=13SO.SΔABCSΔABC=3VS.ABCSO=33a3a=33a2.

Mặt khác SΔABC=34.AB2=33a2AB=23a.

Xét ABC có OM=13AM=13.32.23a=a.

Xét SOM vuông tại O nên tanSMO^=SOOM=aa=1SMO^=45o.

Câu 23:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A. Cạnh bên SA vuông góc mặt phẳng đáy và SA=a2.  Biết AB=2AD=2DC=2a.  Góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SBC) là
Xem đáp án

Chọn đáp án A

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A. Cạnh bên SA vuông góc mặt phẳng (ảnh 1)

Gọi M là trung điểm của AB.

Ta có tứ giác ADCM là hình vuông và CMSAB . Trong (SAB) kẻ MKSB  tại K.

Khi đó, ta có SBCMK  nên SAB;SBC^=MKC^.

Từ ΔBMKΔBSA  ta suy ra MK=SA.BMSBMK=13

Trong MKC vuông tại M có tanMKC^=MCMK=3.

Suy ra MKC^=π3.


Câu 24:

Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a2,  cạnh bên bằng 2a. Gọi α là góc tạo bởi hai mặt phẳng (SAC)và (SCD). Giá trị của cosα bằng
Xem đáp án

Chọn đáp án D

Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a căn bậc 2 (2) cạnh bên bằng 2a. Gọi alpha là góc (ảnh 1)

Gọi H là hình chiếu của O trên cạnh SC ta có

SDC,SAC^=OHD^=α.

OHD vuông tại OOD=a;OH=a32 nên DH=7a2.

Vậy cosα=OHDH=217.


Câu 25:

Cho lăng trụ đứng OAB.O'A'B' có các đáy là các tam giác vuông cân OA=OB=a,AA'=a2. Gọi M, P lần lượt là trung điểm các cạnh OA, AA'. Diện tích thiết diện khi cắt lăng trụ bởi (B'MP) bằng
Xem đáp án

Chọn đáp án B

Cho lăng trụ đứng OAB.O'A'B' có các đáy là các tam giác vuông cân OA = OB = a, AA' = a căn bậc 2 2 (ảnh 1)

Gọi R là giao điểm của MPOO', Q là giao điểm của B'R với OB

Thiết diện là tứ giác MPB'Q, ta có OQO'B'=RORO'=13OQ=a3.

Tứ giác AMQB là hình chiếu vuông góc của tứ giác PMQB' trên mặt phẳng (OAB) nên SPMQB'=SAMQBcosφ  với φ là góc tạo bởi hai mặt phẳng (OAB) và (MPB'Q).

Ta có: SAMQB=SOABSOMQ=12a2112a2=512a2.

Hạ OHMQ,  ta có: MQOHMQORMQOHRMQHR.

Vậy φ =OHR^  (OHR^ nhọn).

Ta có: cosφ=cosOHR^=OHRH=OHOH2+OR2

=a13a213+a22=215.

Vậy SPMQB'=5a215122.


Bắt đầu thi ngay

Bài thi liên quan


Có thể bạn quan tâm


Các bài thi hot trong chương