Ta có: AA’ = A’B = A’D.

Khi đó, hình chiếu vuông góc của A’ lên (ABD) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD.

Mà ABCD là hình chữ nhật nên am giác ABD vuông tại A.

Suy ra tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD là trung điểm của BD.

Do đó, hình chiếu vuông góc của A’ lên (ABD) là trung điểm của BD và cũng là giao điểm O của AC với BD.

Ta có: \(OA = \frac{{BD}}{2} = \frac{{\sqrt {A{B^2} + A{D^2}} }}{2} = \frac{{\sqrt {{a^2} + {{\left( {a\sqrt 3 } \right)}^2}} }}{2} = a\)

A’O ⊥ (ABCD) ⇒ A’O⊥OA ⇒ ∆AOA’ vuông tại O

\(A'O = \sqrt {A'{A^2} - O{A^2}} = \sqrt {{{(2a)}^2} - {a^2}} = a\sqrt 3 \)

Thể tích của khối lăng trụ ABCD.A’B’C’D’ là:

\(V = {S_{ABCD}}.OA' = AB.AD.OA' = a.a\sqrt 3 .a\sqrt 3 = 3{a^3}\).