Cho khối chóp đều S.ABC có cạnh bên bằng a và các mặt bên hợp với đáy một góc 45°. Tính thể tích của khối chóp S.ABC theo a.

Gọi H là trọng tâm đáy trùng với hình chiếu của S.

Đặt  $AB=6x\Rightarrow CM=6x.\frac{\sqrt{3}}{2}=3x\sqrt{3}$

$\Rightarrow MH=x\sqrt{3};AH=HC=2x\sqrt{3}$

Góc tạo bởi mặt bên và mặt đáy là

$\widehat{SMH}=45°\Rightarrow SH=MH=x\sqrt{3}$

Tam giác vuông SAH có:

AH² + SH² = SA²

Þ 12x² + 3x² = a²

Þ 15x² = a²

^{$\Rightarrow x=\frac{a}{\sqrt{15}}$}

Khi đó  $V=\frac{1}{3}SH.\frac{A{B}^2\sqrt{3}}{4}=\frac{1}{3}.x\sqrt{3}.\frac{{\left(6x\right)}^2\sqrt{3}}{4}$

$=9x^3=9.{\left(\frac{a}{\sqrt{15}}\right)}^3=\frac{a^3\sqrt{15}}{25}$.