Cho hình thang vuông ABCD với đường cao AB = 2a, các cạnh đáy AD = a và BC = 3a . Gọi M là điểm trên đoạn AC sao cho \(\overrightarrow {AM} = k\overrightarrow {AC} \). Tìm k để BM ⊥ CD.
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ sao cho gốc tọa độ trùng với điểm B, điểm A thuộc Oy và điểm C thuộc Ox.
Theo bài ra ta có:
B(0; 0), C(3; 0), A(0; 2), D(1; 2).
Khi đó: \(\overrightarrow {AC} = \left( {3; - 2} \right)\)
Phương trình tham số của AC là: \[\left\{ \begin{array}{l}x = 3t\\y = 2 - 2t\end{array} \right.\]
Gọi M thuộc AC suy ra: M(3t ; 2 – 2t)
Ta có: \(\overrightarrow {BM} = \left( {3t;2 - 2t} \right);\overrightarrow {DC} = \left( {2; - 2} \right)\)
Để BM ⊥ CD thì \(\overrightarrow {BM} .\overrightarrow {DC} = 0\)
⇔ 6t – 4 + 4t = 0
⇔ t = \(\frac{2}{5}\)
⇒ \(M\left( {\frac{6}{5};\frac{6}{5}} \right)\)
Khi đó: \(\overrightarrow {AM} = \left( {\frac{6}{5};\frac{{ - 4}}{5}} \right)\)⇒\(AM = \frac{{\sqrt {52} }}{5}\)
\(\overrightarrow {AC} = \left( {3; - 2} \right)\)⇒ \(AC = \sqrt {13} \)
Vì \(\overrightarrow {AM} = k\overrightarrow {AC} \) và \(\overrightarrow {AM} ,\overrightarrow {AC} \) cùng chiều nên k = \(\frac{{AM}}{{AC}} = \frac{{\sqrt {52} }}{{5\sqrt {13} }} = \frac{2}{5}\).