Cho hình nón đỉnh S có chiều cao bằng bán kính đáy và bằng 2a. Mặt phẳng (P) đi qua S cắt đường tròn đáy tại A

Cho hình nón đỉnh S có chiều cao bằng bán kính đáy và bằng 2a. Mặt phẳng (P) đi qua S cắt đường tròn đáy tại A và B sao cho $AB=2\sqrt{3}a.$ Khoảng cách từ tâm của đường tròn đáy hình nón đến (P) bằng

Trả lời

Ta có $\left(P\right)\equiv \left(SAB\right).$ Gọi O là tâm của đường tròn đáy, I là trung điểm của AB.

Kẻ $OH\perp SI\Rightarrow OH\perp \left(SAB\right)\Rightarrow d(O,(SAB\left)\right)=OH.$

Xét tam giác vuông OIA có: $OI=\sqrt{r^2-{\left(\frac{AB}{2}\right)}^2}=\sqrt{4a^2-3a^2}=a\text{. }$

Xét $\Delta SOI$ vuông tại O, OH là đường cao ta có:

$\frac{1}{O{H}^2}=\frac{1}{O{I}^2}+\frac{1}{S{O}^2}\Rightarrow OH=\frac{SO\cdot OI}{\sqrt{O{I}^2+S{O}^2}}=\frac{2a\cdot a}{\sqrt{4a^2+a^2}}=\frac{2a}{\sqrt{5}}$

Chọn C