Giải SBT Toán 11 Bài 15: Giới hạn của dãy số
Bài 5.1 trang 77 SBT Toán 11 Tập 1:Tính các giới hạn sau:
a) ;
b) .
Lời giải:
a) .
b) .
Bài 5.2 trang 78 SBT Toán 11 Tập 1: Tính các giới hạn sau:
a) ;
b) ;
c) ;
d) .
Lời giải:
a)
.
b)
.
c) .
d) .
Bài 5.3 trang 78 SBT Toán 11 Tập 1: Cho với a, b là các số thực thỏa mãn |a| < 1, |b| < 1. Tính .
Lời giải:
Áp dụng công thức tính tổng n số hạng đầu của cấp số nhân, ta có:
.
Do đó,(do |a| < 1, |b| < 1).
Bài 5.4 trang 78 SBT Toán 11 Tập 1: Tính .
Lời giải:
Ta có 1, 3, 5, ..., 2n – 1 là một cấp số cộng gồm n số hạng và có số hạng đầu u1 = 1, công sai d = 2.
Khi đó, 1 + 3 + 5 + ... + (2n – 1) = .
Do đó, .
Bài 5.5 trang 78 SBT Toán 11 Tập 1: Tính tổng + …
Lời giải:
Nhận thấy S là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn (un) với số hạng đầu u1 = – 1 và công bội q = .
Do đó, .
Bài 5.6 trang 78 SBT Toán 11 Tập 1: Viết các số thập phân vô hạn tuần hoàn sau dưới dạng phân số:
a) 1,(03); b) 3,(23).
Lời giải:
a) 1,(03) = 1 + 0,03 + 0,0003 + ... + 0,00...03 + ...
.
b) 3,(23) = 3 + 0,23 + 0,0023 + ... + 0,00...23 + ...
Bài 5.7 trang 78 SBT Toán 11 Tập 1: Cho dãy số (un) với . Tính .
Lời giải:
Ta có .
Mà khi n → +∞ nên .
Bài 5.8 trang 78 SBT Toán 11 Tập 1: Cho tam giác A1B1C1 có diện tích là 3 (đơn vị diện tích). Dựng tam giác A2B2C2 bằng cách nối các trung điểm của các cạnh B1C1, C1A1, A1B1. Tiếp tục quá trình này, ta có các tam giác A3B3C3, ..., AnBnCn,... Kí hiệu sn là diện tích của tam giác AnBnCn.
a) Tính sn.
b) Tính tổng s1 + s2 + ... + sn + ...
Lời giải:
a)
Theo cách xác định tam giác A2B2C2, ta có s2 = s1.
Tương tự, s3 = s2, ...., .
Vậy .
b) Ta có s1 + s2 + ... + sn + ... là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn có số hạng đầu u1 = 3 và công bội q = . Do đó
s1 + s2 + ... + sn + ... = .
Bài 5.9 trang 78 SBT Toán 11 Tập 1: Cho dãy số (un) với u1 = 2, , n ≥ 1. Đặt vn = un + 1 – un.
a) Tính v1 + v2 + ... + vn theo n.
b) Tính un theo n.
c) Tính .
Lời giải:
a) Ta có vn = un + 1 – un = .
Do đó, v1 + v2 + ... + vn =
.
b) Ta có v1 + v2 + ... + vn = (u2 – u1) + (u3 – u2) + ... + (un + 1 – un)
= un + 1 – u1 = .
Mà theo câu a có v1 + v2 + ... + vn = .
Do đó, . Từ đó suy ra .
c) Ta có
.
Bài 5.10 trang 78 SBT Toán 11 Tập 1: Cho dãy số (un) có tính chất . Tính
Lời giải:
Ta có , mà khi n → +∞ nên .
Mặt khác,
.
Vậy = 1.
Xem thêm các bài giải SBT Toán lớp 11 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác: